Презентация проекта

I - группа. Свойства движения А1А1 B1B1 C1C1 A BC d d1d1 Теорема 1 При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, причем порядок взаимного расположения точек на прямой сохраняется. Докозательство: 1. Пусть точки А, В и С принадлежат прямой d, причем А-В-С АВ+ВС=АС 2. f(A)=A 1, f(В)=В 1, f(С)=С 1, т.к. f- движение, то А 1 В 1 =АВ, В 1 С 1 =ВС, А 1 С 1 =АС А 1 В 1 + В 1 С 1 = =АВ+ВС=АС= А 1 С 1 А 1 В 1 + В 1 С 1 = А 1 С 1 A 1, В 1 и С 1 принадлежат некоторой прямой d 1 и А 1 -В 1 - С 1. Следствие 1 При движении прямые переходят в прямые, лучи - в лучи, отрезок заданной длины - в отрезок той же длины.

Теорема 3 При движении треугольник отображается на равный ему треугольник. Следствие 2 При движении угол переходит в равный ему угол, фигура переходит в равную фигуру. В А В1В1 С1С1 f С А1А1 При движении отрезок переходит в отрезок равный данному. Следовательно, треугольник переходит в треугольник равный данному (по третьему признаку). Теорема 2 При движении окружность переходит в окружность того же радиуса. О о М М1М1 f r r1r1 1. f- некоторое движение, f(O)=O 1 2. М- произвольная точка окружности, следовательно f(М)= М 1, по определению движения O 1 М 1 =ОМ=r, таким образом при заданном движении окружность с центром О и радиусом r перейдет в окружность с центром O 1 и тем же радиусом r.

II-группа. Центральная симметрия Определение. Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если точка О принадлежит отрезку АА 1 и этой точкой отрезок АА 1 делится пополам. А О А1А1 Z о (А)=А 1 О- центр симметрии А и А 1 – центрально симметричные. Т.к. точка А - произвольная точка плоскости, то отображение Z о задано на всей плоскости. Это отображение называется симметрией относительно точки О (центральной симметрией). Теорема Симметрия относительно точки является движением. А1А1 В1В1 А В О Доказательство: Точки А, В и О не лежат на одной прямой 1. Z о (А)= А 1, Z о (В)= В 1 АО=А 1 О, ВО= В 1 О, АОВ= А 1 ОВ 1 - как вертикальные; 2. Следовательно, АОВ= А 1 ОВ 1 по двум сторонам и углу между ними (I признак); 3. Из равенства треугольников следует, что АВ= А 1 В 1. Точки А, В и О лежат на одной прямой А О А1А1 m В В1В1 А 1 В 1 =|ОВ 1 -О А 1 |=|ОВ-ОА|=АВ или А О А1А1 m А 1 В 1 = А 1 О+ОВ 1 =ОА+ОВ=АВ, а следовательно Z о - движение.

Свойства центральной симметрии 1. Центр симметрии точка О, единственная неподвижная точка, т.е. Z о (О)= О 2. Прямая, проходящая через центр симметрии переходит в себя. М О М1М1 m М Є m М 1 Є m А А1А1 В1В1 В О 3. Прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую (следует из равенства накрест лежащих углов при прямых АВ и А 1 В 1, секущей ВВ 1 ) ОЄ АВ; Z о (АВ)= А 1 В 1, АВ|| А 1 В 1 4. Центральная симметрия изменяет направление АВ А 1 В 1 D А В С О А1А1 А О Z о (А)= А 1, Z о (А 1 )= А Определение: Если некоторая фигура при симметрии относительно точки О переходит в себя, то точка О называется центром симметрии этой фигуры, а фигура называется симметричной относительно точки О. Z о (Ф)= Ф Z о (А)= C, Z о (В)= D, Z о (С)= А, Z о (D)= В

III-группа. Осевая симметрия. Определение. Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой l, если отрезок АА 1 перпендикулярен прямой l и делится этой прямой пополам. А А1А1 l S l (A)= А 1 А и А 1 - симметричные точки. l- ось симметрии Теорема Симметрия относительно прямой является движение X и Y -произвольные точки плоскости, лежащие в одной полуплоскости относительно прямой l. A X X1X1 Y Y1Y1 l B 1. S l (X)= X 1, S l (Y)= Y 1, XX 1 l=A, YY 1 l=B 2. ABY и АВY 1 - прямоугольные (по определению осевой симметрии) ABY = АВY 1 - по двум катетам AY=AY 1 и YAB= Y 1 AB 3. Рассмотрим XAY и X 1 AY 1 : ХА=Х 1 А (по определению осевой симметрии) AY=AY 1 (по доказанному) XAY= X 1 AY 1 (как разность прямых и равных углов) Следовательно, XAY = X 1 AY 1 ( по двум сторонам и углу между ними,I признак) 4. Из равенства треугольников следует равенство отрезков XY и X 1 Y 1. Т.к. точка А - произвольная точка плоскости, то отображение S l задано на всей плоскости. Это отображение называется симметрией относительно прямой l (осевой симметрией).

X и Y -произвольные точки плоскости, лежащие в разных полуплоскостях относительно прямой l. С X X Y Y1Y1 l B А X и Y -произвольные точки плоскости, одна из точек лежит на прямой l. X l Y Y1Y1 B Равенство отрезков XY и X 1 Y 1 следует из равенства по двум катетам прямоугольных треугольников X 1 CA и XCA, YCB и Y 1 CB. S l (X)= X, S l (Y)= Y 1 XYB=XY 1 B (по двум катетам) XY= XY 1 Т.о. осевая симметрия - движение Свойства осевой симметрии 1. S l (l)=l - любая точка оси симметрии - неподвижна (переходит сама в себя); 2. Прямая перпендикулярная оси симметрии переходит сама в себя; 3. Соответствующие прямые пересекаются на оси симметрии или параллельны;

Определение Если некоторая фигура при симметрии относительно прямой m переходит в себя, то прямая m называется осью симметрии этой фигуры, а фигура называется симметричной относительно прямой m. S m (Ф)=Ф

Определение. Параллельным переносом на заданный вектор АВ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка плоскости М переходит в М 1 так, что ММ 1 =АВ и обозначается Р АВ (М)=М 1. IV группа. Параллельный перенос. А В М М1М1 Теорема ХX1X1 Y1Y1 Y AB Параллельный перенос является движением 1. Р АВ (X)=X 1, Р АВ (Y)=Y 1 XX 1 ||AB, XX 1 =AB; YY 1 ||AB, YY 1 =AB 2. Следовательно, XX 1 || YY 1 и XX 1 = YY 1 3. YXX 1 Y 1 - параллелограмм по признаку 4. По свойству параллелограмма XY=X 1 Y 1, значит параллельный перенос - движение.

Свойства параллельного переноса 1. Параллельный перенос не имеет неподвижных точек; 2. Прямые, параллельные направлению переноса, переходят в себя; 3. Параллельный перенос сохраняет направление, т.е. если АА 1 и ВВ 1,то лучи АВ и А 1 В 1 сонаправлены. Обратно: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом. 4. Композиция (последовательное выполнение) двух параллельных переносов - параллельный перенос, причем параллельные переносы - перестановочныйй: Р а Р b = Р b Р а =P a+b Следствие: Любую композицию параллельных переносов можно заменить одним параллельным переносом (по правилу многоугольника) А1А1 А2А2 А А3А3 А4А4 В Орнамент. Это узор, который получается, если некоторую фигуру подвергнуть параллельному переносу несколько раз.

V группа. Поворот. Определение. Отметим на плоскости точку О ( центр поворота) и угол ϕ (угол поворота). Преобразование плоскости, при котором каждая точка М плоскости переходит в точку М 1 такую, что угол между лучами ОМ и ОМ 1 равен ϕ, а ОМ=ОМ 1, называется поворотом около точки О на угол ϕ. ϕ >0 - если поворот совершается против часовой стрелки ϕ <0 - если поворот совершается по часовой стрелки М1М1 ϕ О М (M)=M 1, ϕ >0 Теорема. Поворот является движением. O Y1Y1 Y X1X1 X 1. (X) = X 1, 1 OX=OX 1, OY=OY 1 2. ХOY= ϕ - X 1 OY, X 1 OY 1 = ϕ - X 1 OY ХOY= X 1 OY 1 3. Значит, ХOY= X 1 OY 1 - по двум сторонам и углу между ними, тогда XY= X 1 Y 1 Т.к. точки X и Y произвольные, следовательно, поворот- движение

А А1А1 ϕ Свойства поворота. 1. Поворот вокруг точки О на 180 о является центральной симметрией относительно точки О. 2. Центр вращения - единственная неподвижная точка, (O)=O. Окружности с центрами в точке О (центре поворота) - переходят сами в себя. 3. Если (А)=А 1, (В)=В 1, то угол между АВ и А 1 В 1 равен ϕ ; 4. Композиция двух вращений с общим центром на углы α и β соответственно является вращением с тем же центром на угол α+β. При этом вращения перестановочныйй. = = 5. Тождественное преобразование можно рассматривать как поворот на нулевой угол. 6. Композиция двух вращений с центрами О 1 и О 2 на углы α и β, соответственно, является вращением с новым центром О на угол α+β, если α+β360 о, и параллельным переносом, если α+β=360 о.

VI группа. Подобие. X Y X1X1 Y1Y1 Определение. Преобразование фигуры F в фигуру F 1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и тоже число раз. Р k (F)=F 1, Р k - подобие с коэффициентом k f: X X 1 f: Y Y 1, X 1 Y 1 = k XY, где k>0 -является одним и тем же для всех точек X и Y. k - коэффициент подобия, а фигуры F F 1 (подобны). Подобие не является движением, т.к. расстояния изменяются. Свойства подобия. 1. Преобразование подобия переводит прямую в прямую, отрезок - в отрезок, луч - в луч. Действительно, если точки А,В,С лежат на одной прямой, то АС=АВ+ВС, тогда А 1 В 1 = kАВ=K(АС+СВ)=kАС+КСВ=А 1 С 1 +С 1 В 1 А 1,С 1, В 1 -лежат на прямой и порядок расположения точек сохраняется. 2. Преобразование подобия сохраняет углы. 3. Преобразование подобия переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны. 4. Преобразование подобия переводит окружность в окружность. 5. Преобразование, обратное преобразованию подобия с коэффициентом k, есть преобразование подобия с коэффициентом, равным 6. Композиция преобразований подобия с коэффициентами k 1 и k 2 есть преобразование подобия с коэффициентом k=k 1k 2

VII группа. Гомотетия. О М М1М1 М1М1 М О Определение. Зададим точку О и число k0. Точки М и М 1 являются соответствующими в гомотетии если ОМ 1 =kОМ. Н о,k (М)=М 1, где О- центр гомотетии, k- коэффициент гомотетии. k>0 K<0 О В В1В1 А А1А1 Частные случаи гомотетии: k=1 - тождественное преобразование k=-1 - центральная симметрия относительно точки О. Теорема. Гомотетия является подобием. О В В1В1 А А1А1 k>0k<0 1. Н о,k (А)=А 1, Н о,k (В)=В 1 ОА 1 =kОА, ОВ 1 =kОВ 2. А 1 В 1 = ОВ 1 - ОА 1 = kОВ - kОА =k(ОВ-ОА)=k АВ Следовательно, гомотетия является подобием Из подобия следует, что расстояние между соответствующими точками не сохранилось, таким образом, гомотетия не является движением.

Свойства гомотетии: 1. Гомотетия переводит прямую в прямую, отрезок- в отрезок; 2. Гомотетия с k>0 переводит луч в себя (в сонаправленный луч), а гомотетия с k<0 переводит луч в противоположно направленный луч; 3. Гомотетия сохраняет углы; О Х Х1Х1 О1О1 О2О2 4. Гомотетия переводит окружность в окружность Н о,k (О 1 )=О 2, Н о,k (Х)=Х 1 ОО 2 =kОО 1, ОХ 1 =kОХ 2, О- общий ОО 1 Х подобен ОО 2 Х 1 по второму признаку О 2 Х 1 =kО 1 Х ; т.к. Х произвольная точка окружности, следовательно, окружность переходит в окружность; 5.Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k0, есть гомотетия с тем же центром гомотетии и коэффициентом, равным 6. При k1 гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную прямую, отрезок - в параллельный отрезок. Прямые, проходящие через центр гомотетии, отображаются на себя (Следует из подобия и из определения гомотетии); 7. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k 1 и k 2 есть гомотетия с тем же центром и коэффициентом k=k 1k 2 ; 8. Преобразование подобия с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффициентом k и движения.

O X Y X*X* Y*Y* F F*F* X1X1 Y1Y1 F1F1 Пусть Р k (F)=F 1, где k>0 Р k (X)=X 1 и Р k (Y)=Y 1 X 1 Y 1 =k XY (из определения подобия); H o,k (F)=F *,k>0 и О- произвольная H o,k (X)=X *, H o,k (Y)=Y * X * Y * =k XY (из определения гомотетии); Таким образом, для любых точек X * ;Y * фигуры F * верно равенство X 1 Y 1 = X * Y *, которое означает, что фигуры F * и F 1 равны, а значит, существует движение, переводящее фигуру F * в фигуру F 1.

VIII группа. Инверсия. Определение. Пусть на плоскости задана окружность (О;r) с выколотым центром О. Инверсией I o,k с полюсом О и степенью k=r 2 называется взаимно - однозначное преобразование ММ 1 такое, что ОМ ОМ 1 = r 2 (точки О,М, М 1 -лежат на одной прямой). Точка О выколота, т. к. не имеет образа О М r М1М1 О М М1М1 А Построение соответствующих в инверсии точек: 1. Точка М внутри круга инверсии. МА ОМ; ОА- радиус; АМ 1 ОА (АМ 1 - касательная); М 1 =ОМАМ 1 (ОМ ОМ 1 = r 2,т.к. катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу); 2. Точка М - вне круга инверсии. Построения выполняются в обратном порядке: проводится касательная к окружности и из точки касания опускается перпендикуляр.

О М М1М1 А М О NN1N1 K ab E Свойства инверсии: 1. Если при инверсии точка М переходит в М 1, то точку М 1 эта инверсия переводит в точку М (инверсия - инволютивное преобразование, т.е. =e -тождественное преобразование) I o,k (М)=М 1, то I o,k (М 1 )=М ; 2. При инверсии точки, расположенные внутри круга инверсии, переходят в точки, расположенные вне круга инверсии. Точки, расположенные вне круга инверсии, переходят во внутренние точки круга. Точки окружности инверсии переходят в себя. 3.Прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя Полуинтервал (ОК]луч [Кb), полуинтервал (OE]луч [Ea), КК, ЕЕ 4. Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии.

ОАОА 1 =ОВОВ 1 =r 2 ОА:ОВ=ОВ 1 :ОА 1 и АОВ= В 1 ОА 1 АОВ В 1 ОА 1 (IIпризнак) ОВА= ОА 1 В 1 2. Рассмотрим окружность инверсии (О,r) и прямую m, не проходящую через точку О и точку B m, проведем ОА m, построим точку А 1 и В 1 такие, что I o,k (А)=А 1, I o,k (В)=В 1 По пункту (1) АОВ В 1 ОА 1 и ОАВ= ОВ 1 А 1 =90 0 В 1 лежит на окружности S с диаметром ОА 1. О А В В1В1 А1А1 А1А1 В1В1 В А О m 1. Если I o,k (А)=А 1,I o,k (В)=В 1