Линейная алгебра Определители второго порядка Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными Определители n – ого порядка Методы вычисления определителей Системы из n линейных уравнений с n неизвестными.

Определители 2 порядка Определители широко применяются во многих разделах высшей математики, в теоретической механике, физике и т.д. для сокращения записей и удобства вычислений. Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде: ai jai j Элементы определителя, Главная диагональ определителя Побочная диагональ определителя Индексы из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали. Номер строки Номер столбца

Определители n – ого порядка Определителем n – ого порядка называется число: Методы вычисления определителей n – ого порядка рассмотрим на примере вычисления определителей третьего порядка.

Методы вычисления определителей 1 Метод треугольника + _ Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка

Методы вычисления определителей 2 Метод разложения определителя по элементам строки (столбца) Определитель второго порядка, который получается из определителя 3 - го порядка путем вычеркивания i - й строки и j - го столбца, т.е. строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент a i j называется минором элемента и обозначается M i j Алгебраическим дополнением элемента a i j называется

Методы вычисления определителей Величина определителя равна сумме произведений элементов какой – либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения: Разложение определителя по элементам i – ой строки Разложение определителя по элементам j – ого столбца

Методы вычисления определителей 3 Использование свойств определителя Свойства определителя: Величина определителя: равна нулю, если элементы какого - либо столбца или строки равны нулю: равна нулю, если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны

Методы вычисления определителей меняет знак, если поменять местами строки (столбцы): увеличивается в k раз, если элементы какого - либо столбца (строки) увеличить в k раз: не меняется при замене строк соответствующими столбцами:

Методы вычисления определителей не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель Если определитель имеет так называемый треугольный вид, то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на главной диагонали:

Методы вычисления определителей Выберем 1 столбец и превратим второй и третий элементы в нули К элементам 2 строки прибавим элементы 1 строки, умноженные на (-2) К элементам 3 строки прибавим элементы 1 строки Разложим определитель по элементам 1 столбца Также, используя свойства, можно привести определитель к треугольному виду и вычислить по последнему свойству.

Действия над матрицами Нахождение обратной матрицы Обратная матрица обозначается символом А -1. Таким образом, согласно определению: АА -1 =А -1 А=Е. Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица, которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, дает единичную матрицу. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная матрица не существует Транспонированная матрица получается из матрицы А путем замены строк соответствующими столбцами Присоединенная матрица получается путем замены каждого элемента матрицы А т на его алгебраическое дополнение

Действия над матрицами Из второй строки вычтем первую строку Разложим определитель по элементам 3 столбца

Линейная алгебра КОНЕЦ и СЛАВА БОГУ!!!!!!

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными Центральная задача линейной алгебры - это решение систем линейных уравнений. Решение данной системы - это пара чисел х 1 и х 2, которая при подстановке обращает оба этих уравнения в тождества. Свободные члены уравнения Наиболее простым, является случай, когда число неизвестных n равно числу уравнений n. Пусть n = 2: a i j - коэффициенты при неизвестных. Номер уравнения Номер неизвестного,

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными Обозначим:

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными Аналогично получим: обозначив: Система уравнений будет иметь вид: Если, то решение системы находится по формулам: Формулы Крамера Главный определитель системы Вспомогательные определители системы

Системы из n линейных уравнений с n неизвестными Рассмотрим общую квадратную систему линейных уравнений: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений. Система называется однородной, если Однородная система совместна, так как всегда имеет нулевое решение.

Системы из n линейных уравнений с n неизвестными Для сокращения выкладок запишем систему из трех уравнений с тремя неизвестными: Вспомогательные определители получаются из главного определителя, если заменить соответствующий столбец столбцом свободных членов:

Системы из n линейных уравнений с n неизвестными По величине главного и вспомогательных определителей можно судить о характере системы: Если то система совместна и определенна. Если то система совместна и неопределенна. Если, но или или то система несовместна. В общем случае будем иметь n +1 определителей n – ого порядка и, если, то решение системы находится по формулам Крамера:

Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений Метод обратной матрицы рассмотрим на примере решения квадратной системы 3 порядка. Запишем эту систему в матричном виде. Обозначим: Основная матрица системы Матрица - столбец неизвестных Матрица - столбец свободных членов

Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений Тогда систему можно записать так: Найдем решение системы в матричном виде. Предположим, что det A отличен от нуля и, следовательно, существует обратная матрица А -1. Умножим слева матричную запись системы на обратную матрицу: Метод обратной матрицы применим для решения квадратных систем с невырожденной основной матрицей.

Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений Решить систему методом обратной матрицы. -0,5 2 -5