LOGO Действительные числа

LOGO Cодержание Множество действительных чисел Примеры и назначение Рациональные числа Иррациональные числа Свойства иррациональных чисел Примеры рациональных чисел Свойства рациональных чисел Комплексные числа Факты о действительных числах Мнимые и чисто мнимые числа

LOGO Множество действительных чисел R Z N Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел. Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль. Они могут быть записаны в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби. Множество действительных чисел обозначается - R Вещественные (действительные) числа - это своего рода математическая абстракция, служащая для представления физических величин. Такие числа могут быть интуитивно представлены как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа состоят из более простых объектов таких, как целые и рациональные числа.

LOGO Примеры и назначение 5,1056, 47, 3/7,, 5,36, 0,45, 32, ,(0) - это все действительные числа. Действительные числа позволяют описывать величины, значения которых могут изменяться непрерывно, чего не позволяют делать рациональные и иррациональные числа по отдельности. Другими словами, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное (эталонное) значение этой величины.

LOGO

LOGO Факты о действительных числах 1) любое натуральное число; 2) любое целое число; 3) любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная); 4) любое смешанное число; 5) любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая). Из определения действительных чисел понятно, что действительными числами являются: Более того, сумма, разность,произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа (смотрите действия с действительными числами). А если пойти дальше, то из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций и т.п. можно составлять всевозможные числовые выражения, значения которых также будут действительными числами.

LOGO Рациональные числа Рациональные числа это целые и дробные числа (обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби). Множество рациональных чисел обозначается заглавной английской буквой Q Множество Q включает в себя множество целых чисел (Z) и натуральных чисел (N) Примеры рациональных чисел: Л юбое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель натуральным. a/b, где a Z (a принадлежит целым числам), b N (b принадлежит натуральным числам). Числа 4, 903, – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58, 72, 0, тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9, 99/3, - это тоже примеры рациональных чисел.

LOGO Иррациональные числа Иррациона́льное число́ это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби, где целое число, натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Так же числа которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами. Например, бесконечная непериодическая десятичная дробь 4, … (количество единиц и нулей каждый раз увеличивается на одну) является иррациональным числом. Приведем еще пример иррационального числа: 22, … 0, … π 3, … е 2, … 11 3, Иррациональные числа – это действительные числа, не являющиеся рациональными.

LOGO Свойства рациональных чисел 1) Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если а, b и c любые рациональные числа, то а + b = b + а, а + (b + с) = (а + b) + с. 2) Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем: а + 0 = а, а + (– а) = 0. 3) Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а, b и c имеем: (а + b)с = ас + bс. 4) Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: если а b = 0, то либо а = 0, либо b = 0 (может случиться, что и а = 0, и b = 0 ).

LOGO 1) Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом. 2) Иррациональные числа определяют сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего,а в верхнем нет наименьшего числа. 3) Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным. 4) Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. 5) Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число. 6) Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел. 7) Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории. Свойства иррациональных чисел

LOGO Примеры рациональных чисел Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь : Пусть х = 1,(23) = 1, … Умножим х на 100, чтобы запятая переместилась вправо на один период: 100 х = 123,232323… х = 1,232323… 100 х – х = 122,000000… Т.е. 99 х = 122, откуда х = 122/99 Пример (1 способ): Пусть 1,(23) = 1,232323… = 1 + 0,23 + 0, , … Рассмотрим эту сумму 1 и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S = 1 + S 1, где S 1 = b 1 / (1 – q) – формула суммы бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q = 0,01, и первым членом b 1 = 0,23: S 1 =0.21/1-0.01=23/99 S = 1 +23/99=122/99 Пример (2 способ):

LOGO Комплексные числа Комплексное число это выражение вида a + bi, где a, b действительные числа, а i так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа это частный случай комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z · = a2 + b2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

LOGO Мнимые и чисто мнимые числа Мни́мая едини́ца обычно комплексное число, квадрат которого равен 1 В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская i. Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения. Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение «Основная теорема алгебры». Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах. Утверждение, что мнимая единица это «квадратный корень из 1», не точно: ведь «1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «i». Какой именно корень принять за мнимую единицу неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение