Определение экстремума функции Необходимое условие локального экстремума Достаточное условие локального экстремума Пример Условный экстремум Вывод уравнений Лагранжа Пример

Точка P 0 называется точкой экстремума - локального максимума (минимума) функции f(P), если в окрестности U( P 0 ) функция f(P) определена и Необходимое условие экстремума P 0 (x 0,y 0 ) – критическая точка Пусть P 0 точка экстремума функции f(P). Тогда частные производные функции f либо не существует, либо равны нулю. f(x,y) – функция двух переменных Максимум f ( P0 )f ( P0 ) P0P0

Достаточное условие экстремума Пусть и, а вторые частные производные функции f непрерывны в некоторой окрестности точки (x 0,y 0 ). Введем: Тогда, если D < 0, то в точке (x 0,y 0 ) экстремума нет. Если D > 0, то в точке (x 0,y 0 ) есть экстремум, причем если, то минимум, а если A < 0, то максимум. Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В этом случае требуются дополнительные исследования. f ( P0 )f ( P0 ) x y z

@ Найти локальный экстремум для функции Решение z x 0 y

Задачу исследования функции на условный экстремум при ограничениях, заданных с помощью функций записывают в виде и называют задачей на условный экстремум. Для случая функции двух переменных: x y z Пример: Уравнение связи. Целевая функция.

Для случая функции двух переменных заданное условие определяет уравнение линии h(x,y) = 0. h(x,y) = 0 Производная неявной функции y(x), входящей в уравнение h(x,y) = 0 : Градиент к кривой h(x,y) : T grad h Скалярное произведение : При движении вдоль кривой : T grad f - grad f Только в точке условного экстремума Следовательно векторы grad f и grad h должны быть коллинеарными :

Для случая функции двух переменных функция Лагранжа имеет вид : Система необходимых уравнений :

@ Решение Найти условный экстремум:, x y 0

@ Решение Задача Кеплера. Найти размеры цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар. Найти отношение величины объема шара к величине объема цилиндра. 0 R 2x d