О. Степенным рядом называется функциональный ряд вида (1) где a 0, a 1, a 2, …,a n,…, а также x 0 – постоянные числа. Точку x 0 называют центром степенного ряда. Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида (2) Такой ряд всегда сходится при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.

Теорема 1. (теорема Абеля). Если степенной ряд (2) сходится при некотором, где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что Наоборот, если ряд (2) расходится при, то он расходится при всех значениях x таких, что

Доказательство. Пусть числовой ряд (3) сходится. Поэтому Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что для всех n=0,1,2,… Рассмотрим теперь ряд (4) предполагая, что Так как и при этом то члены ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (4) (геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (4) сходится, а ряд (2) абсолютно сходится. Предположим теперь, что ряд (3) расходится, а ряд (2) сходится при Но тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость и ряда (3), что противоречит предположению. Теорема доказана. Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда.