Числовим виразом називається запис, складений із чисел, знаків арифметичних дій і дужок. Числовий вираз має лише одне значення. Порядок операцій у числовому виразі такий: множення або ділення, потім додавання або віднімання в порядку їх запису. Якщо в числовому виразі виконати всі зазначені дії, то дістанемо число, яке називається значенням числового виразу. Так, значення числового виразу : 3 дорівнює 38. Кожне дійсне число є числовим виразом. Такі вирази називають елементарними. ЯкщоА і В є числові вирази, то А + В, А – В, А ·В, А :В також є числовими виразами.

Говорячи про числові вирази, мають на увазі, що результати зазначених у них операцій існують, тобто операції виконувані. Але якщо в числовому виразі є, наприклад, операція ділення з дільником рівним нулю, то її результат не існує. В цьому випадку говорять, що числовий вираз не має змісту. Зокрема, числовий вираз (4 + 5) : (6 – 2 3) не має змісту, бо при виконанні зазначених операцій у ньому зявляється необхідність ділення на нуль. Якщо в числовому виразі виконати всі зазначені операції, то одержане число називається його значенням. Якщо числовий вираз є числом, то це число і називається його значенням.

Залежно від значень числові вирази поділяються на додатні, відємні і нульові, записується це так: А > 0, А < 0, А = 0. Числовим виразам при потребі дають назви за останніми в них операціями. Наприклад, вираз : 9 називають сумою числа 4 і частки чисел 36 і 9.

Два вирази, що сполучені знаком рівності називаються числовою рівністю. Рівність, як і будь- яке висловлювання може бути істинною чи хибною. Наприклад: 24:2 = – істинне, а рівність 24+7= 42+5 – хибне. Таким чином, якщо сполучити законом рівності рівні числові вирази, то одержимо істинну числову рівність, якщо навпаки то хибну.

1.Якщо до обох частин істинної числової рівності a=b, додати одне і те ж саме дійсне число c, то знову одержимо істинну рівність a+c=b+c. 2. Якщо обидві частини істинної числової рівності a=b помножити на одне і те ж саме, відмінне від нуля дійсне число c, то одержимо істинну числову рівність ac=bc.

Числова нерівність це висловлювання, яке істинне тоді, коли значення лівої частини перебуває зі значенням правої частини в тому відношенні, що визначається знаком нерівності. Відношення «більше або дорівнює » або «менше або дорівнює » є відношеннями нестрогого лінійного порядку, а відношення «більше >», «менше <» - строгого лінійного порядку.

1) Якщо a> b, b b b> c a> c; 3) Якщо a> b a + c> b + c; 4) Якщо a + b> c a> cb; 5) Якщо обидві частини вірного нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то вийде вірне нерівність; 6) Якщо обидві частини вірного нерівності помножити на одне і те ж число і змінити знак на протилежний, то вийде вірне нерівність; 7) Два нерівності, що містять одну і ту ж змінну, називаються рівносильними, якщо вони мають спільне безліч рішень (безліч рішень цих нерівностей збігаються); 8)Нерівності з однаковою суттю можна почленно додавати, залишивши спільний знак нерівності. 9)Нерівності з протилежною суттю можна почленно віднімати, поставивши знак тієї нерівності, від якої віднімали. 10)Нерівності з однаковою суттю з додатними членами можна почленно перемножати, поставивши спільний знак нерівності.

Два вирази називаються тотожно рівними, якщо при будь-яких допустимих значеннях букв відповідні значення цих виразів дорівнюють одне одному. Рівність, яка є правильною при будь- яких значеннях букв, називається тотожністю. Зміна виразу тотожно рівним йому виразом називається тотожним перетворенням виразу. Приклади тотожностей: 1) a+b=b+a; 2) a+0=a; 3) 3a+5a-7=8a-5-2. До тотожних перетворень належать такі: - Зведення подібних доданків; - Розкриття дужок, перед якими стоять знаки + або – та інші. Тотожності, що містять змінні, потребують доведення.