n!n! Волошина Н.Н.,

1. Произведение биномов, отличающихся только вторыми членами. Выражение х + а, как и вообще всякий двучлен, называется биномом. Обыкновенным умножением находим: (х+а)(х+b) = x² + (a + b)х + аb, (х+а)(х+b)(х+с) = x³ + (a + b + с)x² + (аb + ас + bc)х + аbс, (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = x + (a + b + c + d)x³ + + (ab + ас + ad + bc + bd + cd)x² + (abc + abd + acd + bcd)x + abcd. Эти произведения представляют собой многочлены, расположенные по убывающим степеням х.

Все они составлены по одному и тому же закону: Показатель первого члена равен числу перемножаемых биномов, показатели при х в следующих членах убывают на 1; последний член не содержит х (т.е. х 0 =1). Коэффициент первого члена есть 1; коэффициент второго члена есть сумма всех вторых членов перемножаемых биномов; коэффициент третьего члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по два; коэффициент четвертого члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по три, и т.д. Последний член есть произведение всех вторых членов.

Эта закономерность применима к произведению какого угодно числа биномов, т.е. верна формула (х + а)(х + b)(х + с)... (x + k) = = S 0 x n + S 1 x n-1 + S 2 x n S n, где S 0 = 1 S 1 = a + b + с k, S 2 = ab + ас ik, S 3 = abc + abd S n = abc... ik.

1. Найти произведение биномов: П=(х - 1)(х + 2)(х - 3)(х + 4) Решение: S 0 =1 S 1 = (-1) (-3) + 4 = 2; S 2 = (-1) · 2 + (-1) · (-3) + (-1) · (-3) + 2 · (-3) · 4 = -13; S 3 = (-1) · 2 · (-3) + (-1) · 2 · 4 + (-1) · (-3) · · (-3) · 4 = -14; S 4 = (-1) · 2 · (-3) · 4 = 24. => П = х 4 + 2x³ - 13x² - 14x + 24 S 0 =1 S 1 S 2 S 3 S 4

2. Формула бинома Ньютона Если в приведенной выше формуле все вторые члены биномов одинаковы, т.е. а = b = с =... = k, тогда левая часть будет степень бинома (х + а) n, a S 1, S 2,..., S n будут соответственно равны: Т.е. по сути это сочетания

Таким образом, мы получаем:

Эта формула называется формулой бинома Ньютона. Ее можно записать и так: Примечание: Формулы квадрата суммы (разности) и куба суммы (разности) есть частные случаи этой общей формулы.

2. Разложить бином Ньютона: (х + а) 5 Решение:

3. Биномиальные коэффициенты и их свойства. Коэффициентом первого члена разложения бинома есть 1 (или ), второго -, третьего - и т.д. Коэффициент последнего, (n + 1)-го члена равен Эти коэффициенты называются биномиальными. Общий член разложения имеет вид: Из этой формулы можно получить все члены (кроме первого), подставляя вместо m числа: 1, 2, 3,..., n.

Свойства биномиальных коэффициентов: 1) Коэффициенты членов, одинаково удаленных от концов разложения, равны между собой, т.е. 2) Для получения коэффициента следующего члена достаточно умножить коэффициент предыдущего члена на показатель буквы x в этом члене и разделить на число членов, предшествующих определяемому, т.е.

Свойства биномиальных коэффициентов: 3) Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2 n, т.е. 4) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, т.е.

Решение примеров и задач на бином Ньютона

1. В разложении коэффициент V члена относится к коэффициенту III члена, как 7 : 2. Найти тот член этого разложения, который содержит х в I степени. Решение: Биномиальный коэффициент пятого члена равен, коэффициент третьего члена равен Тогда, по условию, Пусть теперь номер члена, содержащего х в первой степени, равен k + 1. Тогда По условию, показатель степени х должен быть равен 1. Значит, Итак, член, содержащий х 1, есть

2. В разложении биномиальный коэффициент III члена на 44 больше коэффициента II. Найти свободный член. Решение. Коэффициент III члена будет, а коэффициент II - По условию Cвободный член: = > x 0 при k = 3 Итак, свободный член:

3. Найти все рациональные члены разложения, не выписывая члены иррациональные. Решение: Напишем общий член разложения данного бинома: Рациональными члены будут тогда, когда будет целым числом. Выясним, при каких n это выражение будет целым. Чтобы для n получались целые значения, нужно придавать значения m, кратные пяти, но при этом такие, чтобы число n не выходило из интервала 0 и 20. Такие значения для m будут: -10; -5; 0; 5, а соответствующие числа для n: 20, 14, 8, 2. Искомые члены будут:

Задача 4. Дано многочлен x(2 - 3 х) 5 + x 3 (1 + 2x 2 ) 7 - х 4 (3 + 2 х 3 ) 9. Найти коэффициент члена, содержащего х 5, если выполнить указанные действия. Решение: В разложении х(2 - 3 х) 5 член, содержащий х 5, равен xT 4+1, где - пятый член разложения бинома (2 - 3 х) 5 : В разложении х 3 (1 + 2 х 2 ) 7 член, содержащий х 5, равен x 3 T 1+1, где T второй член разложения бинома (1 + 2 х 2 ) 7 : Разложение х 4 (1 + 2 х 3 ) 9 не содержит х 5. Итак, коэффициент члена (данного многочлена), содержащего х 5, равен 824.

Задача 5. Многочлен х - 3x³ + x² + 1 разложить по убывающим степеням х + 1. Решение. Заменив х на (х + 1) -1, получим х - 3x³ + x² + 1 = [(х + 1) - 1] - 3[(х + 1) - 1]³ + [(х + 1) - 1]² + 1. Если теперь раскрыть по формуле бинома Ньютона выражение [(х + 1) - 1]k, где k = 2, 3, 4, рассматривая х + 1 как один член, то после приведения подобных членов получим (х + 1) - 7(х + 1)³ + 16(х + 1)² - 15(х + 1) + 6.

Задача 6. Сколько рациональных членов содержится в разложении Решение. Имеем: Так как для рациональности члена показатели и должны быть целыми числами, то число n должно быть кратно 3 и 2, т.е. кратно 6. Но 0 n 100 и числа n, кратные шести, будут 0, 6, 12,..., 96. Подсчитаем число m их, получим: 96 = 0 + 6(m - 1), 6(m - 1) = 96, m - 1 = 16, m = 17.

5. Историческая справка о биноме Ньютона. Разложение выражения (a + b) в ряд для целых значений n было известно грекам лишь для случая n = 2. Обобщение для любого целого n было сделано среднеазиатскими математиками Омаром Хайямом и ал-Каши. Ал-Каши пользуется биномом для приближенного вычисления корня любой степени из целого числа; с этой целью он составил таблицу биномиальных коэффициентов.

Эта таблица носит название треугольника Паскаля. В Западной Европе она впервые была опубликована в руководствах по арифметике Апиануса в 1527 г. и Штифеля в 1544 г. В 1556 г. Тарталья также опубликовал таблицу биномиальных коэффициентов, причем объявил ее своим изобретением. В 1631 г. исследованием таблицы занимался Аутред, изобретатель логарифмической линейки; несколько позже, в 1654 г., была опубликована работа Паскаля.

В 1676 г. формулу бинома распространил на отрицательные и дробные показатели И. Ньютон, хотя не дал ее доказательства. Последнее было дано Маклореном для рациональных значений п, Эйлером в 1774 г. для дробных показателей. Наконец, в 1825 г. великий норвежский математик Нильс Гендрик Абель ( ) доказал теорему бинома для любого комплексного числа n.