Интегральное исчисление Приложения определённого интеграла

Студент должен знать понятия неопределённого и определённого интегралов; свойства интегралов; таблицу неопределённых интегралов; методы интегрирования; формулу Ньютона-Лейбница.

Заполните таблицу F(x)f(x)=F(x)

Первообразная (определение) y = F(x), y = f(x), D(F) = D(f) = X, F(x) – первообразная для f(x), если для всех x Х: F (x) = f(x).

Определить первообразную функции f(x) = 3x 2 F(x) = x 3 т.к. F (x) = (x 3 ) = 3x 2 = f(x).

Определить первообразную функции f(x) = 3x 2 1. F(x) = x 3 +1, т.к. F (x) = (x 3 +1) = 3x 2 +0 = f(x). 2. F(x) = x 3 – 7, т.к. F (x) = (x 3 – 7) = 3x 2 – 0 = f(x).

Теорема 1 Функция f(x), имеет бесконечное множество первообразных вида F(x)+С.

Неопределённый интеграл f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение.

Свойства неопределённого интеграла

Теорема 2 Дифференциал интеграла функции равен подынтегральному выражению.

Теорема 3 Производная интеграла равна подынтегральной функции.

Теорема 4 Интеграл производной функции равен сумме этой функции с произвольной константой.

Теорема 5 Интеграл суммы равен сумме интегралов

Теорема 6 Постоянный множитель выносится за знак интеграла

Основные формулы интегрирования

Интеграл дифференциала аргумента

Интеграл степенной функции

Интеграл обратной пропорциональности

Интеграл экспоненциальной функции

Интеграл показательной функции

Интеграл функции косинуса

Интеграл функции синуса

Методы интегрирования 1. Непосредственное интегрирование 2. Метод подстановки (замены переменной) 3. Метод интегрирования по частям

Непосредственное интегрирование Найти:

Метод подстановки (замены переменной) Найти:

Введение подстановки

Метод интегрирования по частям

Найти: Чтобы воспользоваться формулой необходимо выбрать функцию u и дифференциал da Пусть u = x и da = lnx. Тогда: du = dx и Такой выбор неудачен: невозможно интегрирование.

Выберем функцию u и дифференциал da иначе: Пусть u = lnx и da = xdx. и

Образец оформления

Определённый интеграл Определённый интеграл функции y=f(x) есть число, значение которого зависит от вида этой функции и пределов интегрирования a и b:

Определённый интеграл f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, a – нижний предел интегрирования b – верхний предел интегрирования

Формула Ньютона-Лейбница

Свойства определённого интеграла

Теорема 7 (аддитивность)

Теорема 8

Теорема 9

Теорема 10

Вычисление определённых интегралов Вычислить:

Вычисление определённых интегралов

Криволинейная трапеция плоская фигура, ограниченная линиями: y = f(x), y = 0 – ось абсцисс, x = a, x = b. x y=0 b a y 0 y=f(x) x=b x=a

Площадь криволинейной трапеции

Вычисление площадей плоских фигур Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: π π /2 0 y x= π /6 x= π /3 y=sin x x y=0

(кв.ед.).

Итоги свойства интегралов; таблица неопределённых интегралов; методы интегрирования; формула Ньютона-Лейбница.

Домашнее задание К практическому занятию 3: Теория – лекционный материал; Письменно – упражнения для самостоятельной работы.

Благодарю за сотрудничество До встречи!