ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Афанасьева С.А. МОУ «СОШ 64» 2015 г.

ТЕМА «ПОДОБИЕ» Теоретический материал. Задачи.

ПЛАН Пропорциональные отрезки. Свойство биссектрисы треугольника. Определение подобных треугольников. Отношение периметров подобных фигур. Отношение площадей подобных фигур. Признаки подобия треугольников.

ЗАДАЧИ Разминка. Решение задач. Задачи на признаки подобия. Тест

Пропорциональные отрезки Отношением отрезков называется отношение их длин. Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1,, если A B C D A BСD A1A1 B1B1 С1С1 D1D1 ПРИМЕР

Даны два прямоугольных треугольника ? 3 4 AC B N M K Стороны ΒC и CA пропорциональны MN и MK, так как т.е. и НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

Пропорциональность отрезков Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков AC B N M K например

Подобные фигуры Предметы одинаковой формы, но разных размеров Фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями; Здание и его макет Планы, географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах.

Подобные фигуры В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами Подобными являются любые два квадрата Подобными являются любые два круга два куба два шара

Подобные треугольники Даны два треугольника AΒC и A 1 Β 1 C 1, у которых A = A 1, Β = Β 1, C = C 1. Стороны AΒ и A 1 Β 1, AC и A 1 C 1, ΒC и Β 1 C 1, лежащие против равных углов, называют сходственными C Β A C1C1 A1A1 Β1Β1

Определение Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. C Β A C1C1 A1A1 Β1Β1 A = A 1, Β = Β 1, C = C 1. ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1

Коэффициент подобия Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия. C Β A C1C1 A1A1 Β1Β1 ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1 k – коэффициент подобия.

Дополнительные свойства Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение медиан подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение биссектрис подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.

Отношение периметров Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. C Β A C1C1 A1A1 Β1Β1 ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Отношение периметров C Β A C1C1 A1A1 Β1Β1 ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1 Выносим общий множитель за скобку и сокращаем дробь.

Отношение площадей Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. C Β A C1C1 A1A1 Β1Β1 ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1ΔAΒC ~ ΔA1Β1C1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Отношение площадей C Β A C1C1 A1A1 Β1Β1 Пусть ΔAΒC ~ ΔA 1 Β 1 C 1, коэффициент подобия k A = A 1, по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем

Свойство биссектрисы треугольника CB A Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. D или ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИМЕР

Свойство биссектрисы треугольника ΔABD и ΔACD имеют общую высоту AH ΔABD и ΔACD имеют равные углы 1 = 2 A HDCB 1 2 ИМЕЕМ

Свойство биссектрисы треугольника Дано: ΔABC AD – биссектриса AB = 14 см BC = 20 см AC = 21 см Найти: BD,CD. Решение: B A C D см 21 см 20 см

Свойство биссектрисы треугольника Решение: Пусть BD = x см, тогда CD = (20 – x) см. По свойству биссектрисы треугольника имеем B A C D см 21 см 20 см Решая уравнение, получим х = 8 BD = 8 см, CD = 12 см.

Признаки подобия треугольников Первый признак подобия треугольников. (по двум углам) Второй признак подобия треугольников. (по углу и двум пропорциональным сторонам) Третий признак подобия треугольников. (по трем пропорциональным сторонам)

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. B C A B1B1 A1A1 C1C1

Первый признак подобия треугольников. Дано: ΔABC и ΔA 1 B 1 C 1, A = A 1, B = B. Доказать: ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1 Доказательство: B C A B1B1 A1A1 C1C1

Первый признак подобия треугольников. Доказательство: A = A 1, B = B 1. C = 180º – A – B, C 1 = 180º – A 1 – B 1. C = C 1 Таким образом углы треугольников соответственно равны. B C A B1B1 A1A1 C1C1

Первый признак подобия треугольников. Доказательство: A = A 1, B = B 1. Имеем Аналогично, рассматривая равенство углов C= C 1, A= A 1, получим Итак, сходственные стороны пропорциональны.

Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. C Β A Β1Β1 C1C1 A1A1

Второй признак подобия треугольников. Дано: ΔABC и ΔA 1 B 1 C 1, A = A 1, Доказать: ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1 Доказательство: C Β A Β1Β1 C1C1 A1A1

Второй признак подобия треугольников. Доказательство: Достаточно доказать, что B = B 1. ΔABC 2, 1= A 1, 2= B 1, ΔABC 2 ~ ΔA 1 B 1 C 1 по двум углам. (из подобия). По условию AC=AC 2. ΔABC=ΔABC 2, т.е. B = B 1. C1C1 B1B1 A1A1 B С A С2С2 1 2

Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. C Β A C1C1 A1A1 Β1Β1

Третий признак подобия треугольников. Дано: ΔABC и ΔA 1 B 1 C 1, Доказать: ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1 Доказательство: C Β A C1C1 A1A1 Β1Β1

Третий признак подобия треугольников. Доказательство: Достаточно доказать, что A= A 1 ΔABC 2, 1= A 1, 2= B 1, ΔABC 2 ~ ΔA 1 B 1 C 1 по двум углам. Отсюда По условию ΔABC=ΔABC 2 по трем сторонам, т.е. A = A 1 C1C1 A1A1 Β1Β1 B С A С2С2 1 2

Разминка 1 Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK. Найдите MN, если AB = 3, CD = 4, PK = 2. MN = 1,5

Разминка 2 Даны два подобных прямоугольных треугольника. Коэффициент подобия 1,5 Стороны одного из них 3, 4 и 5. Найдите гипотенузу другого. 7,5 5 · 1,5 = 7,5

Разминка 3 По данным на рисунке найдите х. 12 х 54 х = 15

Разминка 4 Длины двух окружностей 2π и 8π. Найдите отношение их радиусов. 0,25 2π : 8π = 1 : 4

Разминка 5 Отношение площадей двух квадратов равно 9 : 1. Найдите сторону большего их них, если сторона меньшего равна 2. 6 k 2 = 9, k = 3 Коэффициент подобия 3 · 2 = 6 сторона большего квадрата

Решение задач Пропорциональные отрезки Свойство биссектрисы Определение подобных треугольников Отношение периметров подобных фигур Отношение площадей подобных фигур

1 задача Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам EF и MN. Найдите EF, если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм.

4 задача В треугольнике АВС АС = 6 см, ВС = 7 см, AB = 8 см, BD – биссектриса. Найдите, AD, CD. A B C D

7 задача Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см подобен треугольнику со сторонами 5 мм, 7,5 мм и 1 см. Найдите коэффициент подобия.

10 задача Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 1 : 3. Найдите периметр большего треугольника, если периметр меньшего 15 см.

13 задача ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1, AB : A 1 B 1 = k = 4 S ΔABC = 48 м 2. Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C 1.

2 задача В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, CD = 10 см. Найдите периметр параллелограмма, если AD CB O 10

5 задача Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника M AC B 12 18

8 задача Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем F = 20°, E = 40°. Найдите остальные углы этих треугольников. T E M 40°40° F P K 20°20°

11 задача Периметры подобных треугольников 12 мм и 108 мм соответственно. Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм. Найдите стороны другого и определите его вид.

14 задача Площади двух подобных треугольников равны 16 см 2 и 25 см 2. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.

В треугольнике ABC точка K лежит на стороне АС. Площади треугольников АВK и KВС относятся как 1 : 3, ВС = 10 см. Найдите AC, если 3 задача.. AKC B 10

6 задача A B C D AD = 4 BC = 5 AB + DC = 12 Найти AB, DC, AC

9 задача На рисунке ΔВЕС ~ ΔАВС, АЕ = 16 см, СЕ = 9 см. Углы ABC и ВЕС тупые. Найдите ВС. A B E C 16169

12 задача Масштаб плана 1 : Какова длина ограды участка, если на плане размеры прямоугольника, изображающего участок 2 см х 5 см.

15 задача Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3, сумма их площадей равна 260 см 2. Найдите площадь каждого треугольника.

ЗАДАЧИ 1. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD относятся как 1 : 9. Сумма оснований BC и AD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции. Решение:

Решение Рассмотрим ΔAOD и ΔBOC: 1= 2 (накрест лежащие при AD || BC, и секущей AC; 3= 4 (вертикальные) ΔAOD ~ ΔBOC (по двум углам) = k A BC D O

Решение. k = 3 AD + BC = = 3BC + BC = 4BC AD + BC = 4,8 см (по условию) BC = 1,2 см AD = 3,6 см A BC D O Ответ: BC = 1,2 см AD = 3,6 см

ЗАДАЧИ 2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и выясните взаимное положение прямых CB и DF. 2,5 A B E C D F Решение:

Решение Отсюда ΔABC~ΔDEF по трем пропорциональным сторонам 2,5 A B E C D F Найдем отношение сходственных сторон данных треугольников

Решение ΔABC~ΔDEF Соответственно A = E B = F ACB = EDF E. Рассмотрим прямые BC и DF, секущую AE 1 = 2 (внешние накрест лежащие) BC || DF. A B C D F 1 2

ЗАДАЧИ 3. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причем. Докажите, что CBO = DAO. Решение:

Решение Рассмотрим ΔAOD и ΔCOB DOA = COB (вертикальные).. ΔAOD ~ ΔCOB по углу и двум пропорциональным сторонам. CBO = DAO (из подобия). A O C B D

ЗАДАЧИ 4. В треугольнике ABC AB = 4, BC = 6, AC = 7. Точка E лежит на стороне AB. Внутри треугольника взята точка M так, что MB = 5,25, ME = 4,5, AE = 1. Прямая BM пересекает AC в точке P. Докажите, что ΔAPB равнобедренный. Решение:

Решение. Рассмотрим ΔBEM и ΔABC BE = AB AE = 4 – 1 = 3 BE : AB = 3 : 4 = 0,75 EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75 BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75, т.е. стороны треугольников пропорциональны B E P C A M ,5 5,25 1

ΔBEM ~ ΔABC по трем пропорциональным сторонам. Следовательно, BME = AСB EBM = BAC BEM = ABC. Рассмотрим треугольник ABP: EBM = BAC, т.е. ABP = BAP. ΔABP – равнобедренный, что и требовалось доказать. Решение

ЗАДАЧИ 5. Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 90. Середина M стороны AB соединена с вершиной D. Отрезок MD пересекает AC в точке O. Найдите отрезки AО и CО. Решение:

Решение Рассмотрим ΔAOM и ΔCОD AOM = CОD (вертикальные), MAO = ОCD (накрест лежащие при AB || DC и секущей AC). Отсюда ΔAOM ~ ΔCОD по двум углам. C M A O D B

Решение. AM = ½ AB (по условию) AB = CD (ABCD - параллелограмм), AM : CD = 1 : 2 C M A O D B ΔAOM ~ ΔCОD т.е. AO = 0,5CО AO = AC = ·90 = 30 CO = AC = ·90 = 60

ТЕСТ АБВГ Решите задачи, отметьте нужные ячейкинужные ячейки

ТЕСТ 1. По данным рисунка х равен А) 7 Б) 14 В) 3,5 Г) 14/3 7 х

ТЕСТ 2) По данным рисунка периметр ΔABC равен А) 9 Б) 27 В) 36 Г) А В С

ТЕСТ 3) По данным рисунка отрезок BC равен А) 3,75 Б) 7,5 В) 5 Г) 4,5 А В С ,5 2,5

ТЕСТ 4) По данным рисунка площади данных треугольников относятся А) 3 : 1 Б) 9 : 1 В) 6 : 1 Г) 9 : 4 A B E C D F

ТЕСТ 5) По данным рисунка прямые AB и DE А) нельзя ответить Б) пересекаются В) параллельны A B E C D F

ТЕСТ АБВГ ОТВЕТЫ: