Метод Гаусса Выполнил Межов В.С. Группа СБ15-11

История Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода в китайском трактате «Математика в девяти книгах»К. Ф. Гаусса Математика в девяти книгах

Критерий совместности Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны). Теорема Кронекера Капелли Теорема Кронекера Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Следствия: Системаранг Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения. Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.

Описание метода Пусть исходная система выглядит следующим образом Матрица называется основной матрицей системы, столбцом свободных членов. Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):элементарных преобразований При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных [4].базисный минор [4] Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными. Если хотя бы одно число, где, то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.несовместна Пусть для любых. Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где номер строки): Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.СЛАУэлементарных преобразований Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Алгоритм Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.СЛАУ На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.элементарных преобразований треугольной форме На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.фундаментальную систему решений Метод Гаусса требует арифметических операций. Этот метод опирается на: Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.

Простейший случай В простейшем случае алгоритм выглядит так:

Пример Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему: Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на 1,5 и 1, соответственно: Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4: В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма.треугольному виду На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем: Z=-1 из третьего; Y=3 из второго, подставив полученное Z X=2 из первого, подставив полученные Z и Y.Таким образом исходная система решена. В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.фундаментальной системы решений