Геометрия Цилиндр Преподаватель математики: Ведринцева О.С.

Повторение а+bab 2(а+b) По какой формуле находится площадь прямоугольника? а²а²

Повторение 2r П r² 2Пr2Пr По какой формуле находится площадь круга? ПrПr

Повторение 2r 2П r ПrПr По какой формуле находится длина окружности? 2П

Вычислить длину окружности и площадь круга, если радиус окружности равен 2,5 см. Повторение С = 2Пr = 2П2,5 = 5П S=Пr² = 6,25П Ответ

Тема урока Цилиндр

Рассмотрим произвольную плоскость α и окружность L с центром О радиуса r, лежащую в этой плоскости. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости α. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые образующими цилиндрической поверхности. Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости α, называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости α, то они параллельны друг другу.

Рассмотрим теперь плоскость β, параллельную плоскости α. Отрезки образующих, заключенные между плоскостями α и β, параллельны и равны друг другу.

По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости α, заполняют окружность L. Концы же, расположенные в плоскости β, заполняют окружность L 1 с центром О 1 радиуса r, где О 1 точка пересечения плоскости β с осью цилиндрической поверхности. Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости β, получается из окружности L параллельным переносом на вектор OO 1. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор ОО 1 окружность L перейдет в равную ей окружность L 1 радиуса r с центром в точке О 1.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L 1 называется цилиндром. Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключенные между основаниями, образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности боковой поверхностью цилиндра. Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания радиусом цилиндра.

Развертка цилиндра

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны СD, а основания вращением сторон ВС и АD. Поэтому цилиндр называют телом вращения.

Сечения цилиндра Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого образующие, а две другие диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым. АВСD – осевое сечение

Сечения цилиндра Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. В самом деле, такая секущая плоскость - плоскость y на рисунке отсекает от данного цилиндра тело, также являющееся цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.

Наклонный цилиндр Наклонный цилиндр - цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований.

Цилиндр в архитектуре «Уолл Билдинг» в Хиро

Цилиндр в архитектуре "Башня ветров" в Иокогаме

Цилиндр в архитектуре Цементный комбинат на окраине французской столицы

Цилиндр в архитектуре В китайском городе Чунцин появилась уменьшенная версия стеклянного Apple Store из Шанхая.

Цилиндр в архитектуре Английский замок в Сандерленде украшает необычный фонтан, который создал архитектор Уильям Пай. Фонтан представляет собой прозрачный цилиндр с воронкой водоворота по середине.

Цилиндр в архитектуре Отель Radisson Blue расположен в Берлине и знаменит своим удивительным архитектурным стилем. Здесь так же находится самый большой цилиндрический аквариум в мире.

Площадь боковой поверхности цилиндра Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости α. В результате в плоскости α получится прямоугольник АВВ 1 А 1. Стороны АВ и В 1 А 1 прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Основание АА 1 прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, а высота АВ образующей цилиндра, поэтому АА 1 = 2πr, АВ = h, где г радиус цилиндра, h его высота.

Площадь боковой поверхности цилиндра За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки. S бок = 2 П rh

Площадь полной поверхности цилиндра Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна πr 2, то для вычисления площади полной поверхности цилиндра получаем формулу:

Решение задач Задача 1. Дано: Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найти: площадь осевого сечения цилиндра. Решение задачи

Решение задач Решение: По рисунку площадь осевого сечения – это площадь прямоугольника ABCD. S ABCD =AB x AD = 2rh. S бок =2 П rh=S (по условию) Выразим 2rh = S : П Подставим в формулу площади и получим S ABCD = S : П

Решение задач Задача 2. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности? Решение задачи

Дано: L=4; d=20 см=0,2 м. Найти: S. Решение: Воспользуемся формулой площади полной поверхности цилиндра. Радиус равен половине диаметра – 0,1 м, а высота цилиндра равна длине нужной трубы – 4 м. Так на швы нужно добавить 2,5% площади ее боковой поверхности, нужно найти: (S+2,5%S). Подставим вместо S формулу площади боковой поверхности, и вычислим: Ответ: 2,6 м 2.