ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА Решение типовых задач ЕГЭ по математике (В13) Каменева М.А. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ (В13)

О работе; Способы решения задач; Разбор решённых задач: а) «3 задачи на движение» б) «Ззадачи на сплавы» в) «Ззадачи на проценты» г) «Ззадачи на работу» Самостоятельная работа; Вывод; Источники материала. План работы

В данной исследовательской работе мы будем рассматривать способы решения текстовых задач, которые встречаются в экзаменационных работах, в Едином Государственном Экзамене, а также в Государственной Итоговой Аттестации. В работе будут рассмотрены ззадачи на движение, ззадачи на сплавы, ззадачи на работу, ззадачи на проценты. О работе

Рассмотрим методы решения задач на движение. Данные ззадачи решаются по формуле: S = v * t, где S – расстояние, v – скорость, а t – время. Решения задач на работу также сводятся к единственной формуле: А = p * t, где А – работа, p – производительность, а t – время. Если объём работы в задаче не важен, то его следует принять за 1. Если в работе участвуют несколько рабочих, то их производительности складываются. Способы решения задач

В процессе решения задач на сплавы, встречаются такие понятия, как «абсолютное содержание веществ в смеси» и «относительное содержание веществ в смеси». Абсолютное содержание веществ в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения СИ. Относительное содержание веществ в смеси – это отношение абсолютного содержания к общей массе или объёму смеси. Абсолютное содержание веществ в смеси является равным относительному содержанию веществ в смеси.

1. Из пунктов A и B одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля. Первый автомобиль двигался в 2 раза быстрее второго и приехал в пункт B на 1 час раньше, чем второй приехал в пункт A. На сколько минут раньше встретились бы автомобили, если бы скорость второго автомобиля была равна скорости первого?

Ход решения Для решения данной ззадачи нам потребуется составить таблицу. В неё мы, читая условие, будем записывать элементы уравнения. Скорость ВремяРасстояние Автомобиль 1 Автомобиль 2

Ход решения Пусть х км/ч скорость второго автомобиля. По условию, скорость первого автомобиля в два раза больше скорости второго автомобиля, значит, скорость второго автомобиля равна 2 х км/ч. Очевидно, что автомобили проехали одинаковое расстояние, значит его мы можем обозначить за 1. Занесём данные в таблицу: Скорость ВремяРасстояние Автомобиль 12 х км/ч 1 Автомобиль 2x км/ч 1

Ход решения Скорость ВремяРасстояние Автомобиль 12 х 1 Автомобиль 2 х 1

Ход решения

2. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.

Составляем таблицу: Скорость Время движения Расстояние По течению Против течения Ход решения

Пусть х км/ч скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению равна х+1 км/ч, а против течения равна х-1 км/ч. По условию ззадачи, расстояние в обе стороны равно 255 км. Также известно, что обратный путь на 2 часа меньше. Скорость Время движения Расстояние По течениюх+1 км/ч 255 км Против течениях-1 км/ч 255 км Ход решения

1. Содержание меди в первом сплаве 10%, содержание меди во втором сплаве 40%. Второй сплав весит на 3 кг больше первого. Сплавив первые два сплава, получили третий сплав, содержание меди в котором оказалось 30%. Вычислите массу третьего сплава. Запишите ответ в килограммах.

Итак, в задаче рассматриваются три вещества: первый сплав, второй сплав и третий сплав, состоящий из первых двух. Составляем таблицу: Концентрация Масса сплава Масса вещества 1-й сплав 2-й сплав 3-й сплав Ход решения

Анализируя условие ззадачи, заполняем таблицу известными данными: Концентрация Масса сплава Масса вещества 1-й сплав 10%=0,1 2-й сплав 40%=0,4На 3 кг больше 3-й сплав 30%=0,3 Ход решения

Пусть х кг - масса первого сплава. Тогда масса второго сплава равна (х+3) кг. Чтобы найти массу меди, нужно массу сплава умножить на соответствующую концентрацию. Тогда масса меди в первом сплаве равна 0,1 х кг, а во втором- (х+3)*0,4 кг. Масса общего сплава будет равна сумме масс первых двух сплавов, а именно: х+(х+3)=2 х+3 кг. Масса меди в третьем сплаве будет равна: 0,1 х+ +0,4(х+3)= 0,5 х+12 кг. Занесём это в таблицу: Концентрация Масса сплава Масса вещества 1-й сплав 10%=0,1x кг 0,1x кг 2-й сплав 40%=0,4x+3 кг 0,4(x+3) кг 3-й сплав 30%=0,32x+3 кг 0,5x+12 кг Ход решения

2. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?

Составим таблицу: Объём Объём чистого вещества Раствор 14 л 0,15 * 4 = 0,6 л Раствор 26 л 0,25 * 6 = 1,5 л Раствор 3 Ход решения

Т.к. нам не известны масса раствора и масса чистого вещества в данном растворе, то примем за х общую массу, а массу основного вещества за у. Масса Масса чистого вещества Раствор 14 л 0,15 * 4 = 0,6 л Раствор 26 л 0,25 * 6 = 1,5 л Раствор 3x л ул ул Ход решения

1. В среду акции поднялись в цене на некоторое количество процентов, а в четверг - упали в цене не то же самое количество процентов. В результате они оказались на 4% дешевле изначальной стоимости. На сколько процентов подешевели акции в четверг?

Как и в решении предыдущих задач, составим таблицу: Было ИзменениеСтало Среда Четверг Ход решения

Было ИзменениеСтало Среда 1+х % Четверг Ход решения

Было ИзменениеСтало Среда 1+х % Четверг-х%0,96 Ход решения

2. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рубля.

Ход решения

1. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Составим таблицу: Производительность ВремяРабота Рабочий 1 Рабочий 2 Ход решения

Пусть х деталей в час производительность второго рабочего, тогда производительность первого рабочего равна х+1 деталей в час. По условию ззадачи, по заказу всего 110 деталей. Также нам известно, что первый рабочий выполняет заказ на 1 час быстрее, чем второй рабочий. Производительность ВремяРабота Рабочий 1 х+1 деталей в час 110 деталей Рабочий 2x деталей в час 110 деталей Ход решения

4. Машинистка собралась напечатать на компьютере 300 страниц текста. Если бы она печатала на 5 страниц в день больше, чем запланировала, то смогла бы завершить работу на 3 дня раньше. Какое количество страниц в день запланировала печатать машинистка?

Составим таблицу: Скорость работы Время работы Общая работа Планировала В реальности Ход решения

По условию ззадачи, скорость работы машинистки в реальности на 5 страниц в день больше, чем она планировала. Если бы она соблюдала данную скорость, то она бы закончила работу на 3 дня раньше. Объём работы – 300 страниц. Скорость работы Время работы Общая работа Планировала 300 В реальности На 5 страниц больше На 3 дня меньше 300 Ход решения

Скорость работы Время работы Общая работа Планировалаx страниц в день 300 страниц В реальностих+5 страниц в день 300 страниц Ход решения

Таким образом, мы выяснили, что при решении подобных текстовых задач гораздо удобнее использовать таблицы. Таблицы помогают более точно и быстро составить уравнение для решения задач. Вывод Источники материала – сайт для подготовки к ЕГЭ; – сайт для подготовки к ЕГЭ;