«Единичная окружность в тригонометрии» Элективный курс в форме уроков дистанционного обучения для учащихся 11 для подготовки учащихся к решению задач повышенной сложности по теме - «Тригонометрические уравнения и неравенства». Работа выполнена учителем математики МОУ «Курлекская СОШ» Томского района Томской области Логуновой Л.В. Курлек

Зачем нужна единичная окружность? Рис.1 Единичная окружность необходима при изучении тригонометрических функций и построении их графиков, часто используется в решении тригонометрических уравнений и неравенств при отборе корней. Цель: повторить, как устанавливается соответствие между действительными числами на числовой прямой и точками единичной окружности; рассмотреть использование единичной окружность при решении различных задач. Автоматический показ

Содержание Урок 1 – «Отображение точек числовой прямой на точки единичной окружности» Урок 2 – «Способ записи координаты точки единичной окружности» Урок 3 – «Метод лепестков» Урок 4 – «Числовые промежутки на единичной окружности» Урок 5 – «Решение тригонометрических неравенств» Автоматический показ Итог

Урок 1 Определение Способ задания соответствие между множеством действительных чисел и точками единичной окружности (криволинейная система координат) Способ задания соответствие между множеством действительных чисел и точками единичной окружности Упражнения (тесты) На содержание

Определение единичной окружности Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной окружностью. Зададим соответствие между множеством действительных чисел и точками единичной окружности следующим образом: Рис.2 Автоматический показ Урок 1

Способ задания соответствия между множеством действительных чисел и точками единичной окружности Координатную прямую с началом отсчета в точке А будем «наматывать», как нитку, на единичную окружность сначала в положительном направлении – против хода часовой стрелки, Рис. 3 Вернуться потом в отрицательном – по ходу часовой стрелки. Автоматический показ Урок 1

Так как длина окружности вычисляется по формуле, то можно получить изображение таких чисел на окружности как: Рис.4 Урок 1

Смотрите рис.3 2. Каждая точка окружности изображает бесконечное множество действительных чисел. 3. Точки A, B, C, D назовем узловыми. 1. Каждому действительному числу соответствует единственная точка окружности. К упражнению I,1 А В С D Рис.5 Автоматический показ Урок 1 Обратите внимание, что построенное отображение не является однозначным: Фактически, мы получили принципиально новую систему координат – криволинейную. Но точка единичной окружности имеет одну координату. (Почти все также, как и в прямоугольной системе координат.)

Упражнение I.1 Назовите по одному положительному или отрицательному числу, которые не записаны на модели единичной окружности, но соответствуют каждой из узловых точек. Выбери ответ: Рис.6 На упражнение I.2 Урок 1

Упражнение I.2 Выберите точки на единичной окружности, соответствующие числам: A A FGP FGP CDLM BEKN AFGP BEKN CDLM Рис.7 Нажмите здесь: Урок 1

Урок 2 Способы записи чисел, соответствующих одной точке единичной окружности Способы записи чисел, соответствующих одной точке единичной окружности Упражнения: Упражнения II.1 II.2 На содержание

Способы записи чисел, соответствующих одной точке единичной окружности На окружности дана произвольная точка, которая получается поворотом точки на угол радиан вокруг точки О. При обходе окружности на целое число оборотов мы попадаем в исходную точку, а значит, точке окружности наравне с некоторым числом соответствует и любое число вида. В данном случае точке соответствуют числа. К упражнению II.1 Автоматический показ Урок 2

Упражнение II.1 Выберите все числа, соответствующие указанным точкам единичной окружности На содержание На упражнение II.2 Урок 2

Вернуться к упражнению II.1

Вернуться к упражнению II.1

Вернуться к упражнению II.1

Вернуться к упражнению II.1

К упражнению II.2 Вернуться к упражнению II.1

Упражнение II.2 Выберите все числа, соответствующие указанным точкам единичной окружности 1234 На содержание На урок 3 Урок 2

Вернуться к упражнению II.2 На содержание

Вернуться к упражнению II.2

Урок 3 Отбор чисел (Метод «лепестков») Пример 1 Пример 2 Упражнения На содержание

Отбор корней (Метод « лепестков » ) Решение многих тригонометрических уравнений приводит к совокупности или системе их корней. Для грамотной записи ответа, требующей, в частности, исключения повторяющихся чисел, мы используем единичную окружность. Каждой серии чисел присваивается лепесток определенного цвета: Пример 1 Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений. Автоматический показ Урок 3

Решение Теперь перенесем лепестки в нужные места тригонометрической окружности х y О Остается только записать числа, соответствующие точкам, около каждой из которых расположен хоть один лепесток Ответ: Автоматический показ Урок 3

Пример 2 Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений. Решение Каждой серии чисел опять присваиваем лепесток определенного цвета. Теперь перенесем лепестки в нужные места тригонометрической окружности х y О Мы видим, что ни у одной точки не собрались три лепестка, поэтому запись упростить невозможно Ответ: На пример 3 Автоматический показ Урок 3

Пример 3 Запишите без повторений значения х, заданные следующими условиями. Решение Недопустимые точки на единичной окружности будем отмечать крестиками, а точки вида выделим светлыми лепестками. х y О Выражение задает четыре точки единичной окружности, из которых только две допустимы. Ответ: На пример 4 Автоматический показ Урок 3

Пример 4 Запишите без повторений значения х, заданные следующими условиями. Решение Каждой серии чисел опять присваиваем лепесток определенного цвета, а недопустимые точки на единичной окружности будем отмечать крестиками. х y О Точки, у которых стоит хотя бы один лепесток, но нет запрещающего знака соответствую числам: Автоматический показ Урок 3

Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений в заданиях 1 и 2. Выбери ответ: Упражнения 3)Выбрать наибольшее отрицательное число. 4)Переписать данное условие так, чтобы в них не было повторений Выбери ответ: Урок 3 На урок 4

Упражнение I,1 Упражнение I,2

Вернуться к упражнению I,2 Вернуться к упражнению I,1

Урок 4 Запись промежутков Упражнения На содержание

Запись промежутков Запиши все числа, соответствующие точкам выделенной дуги (или двух дуг) на рисунке: Решение Около одного из концов дуги записываем одно из чисел, соответствующих этой точке. Рисуем стрелку, направленную к другому концу отмеченной дуги. Стрелка снабжается знаком « + », если движение направлено против хода часовой стрелки, и знаком « - » минус, если оно идет по ходу часовой стрелки. Записываем соответствующее число около второго конца дуги. Записываем ответ с учетом, что каждой точке единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел. Пример Ответ: Автоматический показ Урок 4

Упражнения Поставь в соответствие числовому промежутку номер рисунка Урок 4 На урок 5

Урок 5 Решение тригонометрических неравенств (примеры) Задание На содержание

Урок 5 Пример Решить неравенство: Решение Рассмотрим единичную окружность: 1)Проведем прямую 2)Заштрихуем точки на оси y, для которых 3)Выделим точки единичной окружности, которые им соответствуют. MN 4)Вдоль заштрихованной дуги МN проведем стрелку в положительном направлении (против часовой стрелки). 5)Роль начальной точки играет точка М, а конечной точка N. 6)Ядро решения неравенства - 7)Точкам M и N «присваиваем имена» - 8)»Ядро» ответа - 9)Ответ: Автоматический показ

Урок 5 Самостоятельная работа Реши неравенство: Ответ

Урок 5 Ответ: К самостоятельной работе

Урок 5 Ответ: К самостоятельной работе

Урок 5 Ответ: К самостоятельной работе На итог

Подведем итог Теперь ты можешь приступать к решению заданий повышенной сложности по тригонометрии, то есть к решению тригонометрических уравнений и задач. Ведь ты теперь знаешь и умеешь Смотри

Содержание Урок 1 – «Отображение точек числовой прямой на точки единичной окружности» Урок 2 – «Способ записи координаты точки единичной окружности» Урок 3 – «Метод лепестков» Урок 4 – «Числовые промежутки на единичной окружности» Урок 5 – «Решение тригонометрических неравенств» Смотри список литературы и других ресурсов

Литература и другие ресурсы для самостоятельной работы Практикум по элементарной математике. Тригонометрия. Авторы – В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович, Москва, «Вербум – М», Лев Великович "Лоцман абитуриента в океане математики" (Подключись к Интернету, скопируй эту ссылку в адресную строку в обозревателе и нажми «Enter» ). Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина (Подключись к Интернету, скопируй эту ссылку в адресную строку в обозревателе и нажми «Enter» ). Не упускай своих возможностей! Твой учитель! На содержание