Сложение и вычитание дробей

Дроби это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел. Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Определение Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Задача Найдите значение выражения: Решение Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем: Ответ

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители и все. Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно. Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл. Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где плюс. Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила: Плюс на минус дает минус; Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах: Задача Найдите значение выражения: Решение В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей: Ответ

Что делать, если знаменатели разные Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Задача Найдите значение выражения: Решение В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест- накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18. Ответ

Что делать, если у дроби есть целая часть Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть. Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше; Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ; Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните обязательно повторите. Примеры:Что такое числовая дробь

Задача Найдите значение выражения: Решение Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем: Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах. Ответ

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть. Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время

Резюме: общая схема вычислений В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей: Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные; Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач); Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями; Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть. Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.