Н АЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Курс лекций для проведения занятий Отредактирован преподавателем математических дисциплин ГАПОУ СО ЕКТС Башкирцевой Г.А.

П РЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Пусть значение переменной х стремится к некоторому значению а, тогда значение функции y = f(x) будет стремиться к некоторому значению А, которое называется пределом функции. Это значение может быть конечным или бесконечным. y = f(x)

не существует

Кванторы: Any / All Exists Любой / Все Существует : : такой, что следовательно

Число А называется пределом функции f(x) при х а, если для Определение:

Свойства пределов

Чтобы вычислить, нужно значение а подставить в f(x) вместо х. Вычисление пределов ) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

Если числитель дроби – постоянная величина, а знаменатель равен 0, то предел дроби равен, и наоборот ) С = const ; 2) 4) 3)

Если числитель и знаменатель дроби равны 0, то нужно разложить их на множители и сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе )

2) 6) 5) 4) 3)

1) 4 4

2) 6) 5) 4) 3)

Замечательные пределы

5 5 1) 2)

Н ЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

1 2 2

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если предел функции при х а равен значению функции в этой точке: Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке отрезка. Точки, в которых нарушаются условия непрерывности, называются точками разрыва.

Точки разрыва 1 рода (устранимые) 2 рода (бесконечные) 1

если то х = а – вертикальная асимптота (следует искать там, где знаменатель обращается в ноль) Асимптоты вертикальные наклонные (горизонтальные) (прямая, к которой график функции приближается максимально близко, но никогда не пересекает её) 1) если то y=kx+b –наклонная асимптота 2) если то y=b – горизонтальная асимптота а

1 1 Найти асимптоты функции: 1) Вертикальные: х 2 = 0; х = 0 – вертикальная асимптота 2) Наклонные: 0; 1; y = 1; – горизонтальная асимптота y = 0x+1; 2 2

П РОИЗВОДНАЯ

f(х 0 ) х х 0 х 0 О М f(х) х y x y – приращение аргумента приращение функции – x = х – х 0 ; y = f(х) – f(х 0 );

Составим отношение приращений: (1) Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при х 0 называется производной функции f(x) в точке х 0.

Действие нахождения производной называется - дифференцированием. Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой. Обозначения :

Производные элементарных функций f(x) C0 x1 x n n · x n – 1 a x a x · ln a e x

Производные элементарных функций f(x) ln x log a x sin xcos x - sin x tg x ctg x

1 1 1) Вычислить производную функции: у = x 3 у = (x 3 ) = – 1 = 3 х 2 3 х 3-1 2) у = x 7 ; 3) у = x 4 ; 4) у = x -2 ;

Правила дифференцирования (U + V) = U + V ( C U) = C U (UV) = UV+UV

2 2 1) у = x 4 - x 5 ; 2) у = 2x 5 ; 3) у = 3x 8 ; 4) у = 2x 3 – 3x ; 5) у = 4x 2 – 2x 3 – 3x + 10 ; 6) у = (2x – 1)(3 х + 4) ; 7) у = (х + 1)(х 2 – 3) ; 8) у = 3sinx – 2cosx ; 9) у = tgx + ctgx ;

3 3 1) у = x sinx ; (UV) = UV+UV у = (x sinx) UV = (x) sinx + x( sinx) = = 1 sinx + x cosx= sinx + x cosx

3 3 2) у = sinx cosx ; (UV) = UV+UV 3) у = x e x ; 4) у = (2x + 3)(4 – 3x) ; 5) у = (х 2 – 3x)(2 х 3 – 8) ; Двумя способами 6) у = 2(х 2 – 3x)(х 3 – 4) ; 7) у = (х – 1)(х 2 – 4) ;

4 4 1) U V

4 4 2)2) 3)3) 4)4) 5)5) 6)6) 7)7)

Производная сложной функции f(x) = f ( g(x) ) f(x) = f(g) g(x) 5 5 1) у = (2x – 7) 14 ; g(x) = 2x – 7; f(g) = g 14 ; у = f(g) g(x) = g 14g 13 2 =28(2x – 7) 13

f(x) = f ( g(x) ) f(x) = f(g) g(x) 2) у = (3 + 5x) 10 ; 3) у = (7x – 1) -3 ; 5 5 4)4) 5)5) 6) у = e 2x ; 7) у = sin2x 2 ; 8) у = x 2 cos2x ; 9*) у = 3sin 3 (4x + 5) ; 10*) у = e (2x+3) 2 ;

Производной второго порядка (второй производной) называется производная от первой производной. Производная второго порядка Производная 3-го порядка: Производная 4-го порядка:

1 1 Вычислить у : у = x 2 + 3x + 2; Вычислить у IV : у = sinx ; Вычислить у : 1) у = x 3 – 2x ; Вычислить f(0), f (0), f (0), f (0), f IV (0) : у = cos2x ; 2) у = 3x 7 + 5sinx ; ) у = е x ; 4 4 4) у = х 3 + е х ;

1) Рассмотрим движение материальной точки, координата которой изменяется по закону: S = S(t). Физический смысл производной t1t1 О t2t2 М t x Производная функции S(t) равна скорости движения

2) Ускорение движения – это скорость изменения скорости, значит Физический смысл производной А так как-то производная от скорости равна ускорению вторая производная от координаты равна ускорению

Задача 1 Координата точки при падении изменяется по закону: x О 1) Найти закон изменения скорости. 2) Ускорение - ускорение равно ускорению свободного падения 3) Найти x, υ, a через 3 с после начала падения

Задача 2 Точка движется прямолинейно по закону: x О Найти законы изменения скорости и ускорения. Задача 3 В какой момент времени ускорение будет равно 1 см/с 2 ; 2 см/с 2 ? Точка вращается вокруг оси по закону: Найти закон изменения угловой скорости вращения ω(t). Чему равна угловая скорость в момент времени t = 4 c? О

Задача 4 Точка движется по закону: Найдите моменты его остановки.

Геометрический смысл производной х 0 х 0 О х у α Производная функции в точке х 0 равна тангенсу угла наклона касательной Производная функции в точке х 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке

1 1 Найти угловой коэффициент и тангенс угла наклона касательной к графику функции: в точке с абсциссой х 0 = 0. Решение 2 2 х 0 = °266" -63° °=116°3354

Уравнение касательной Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х 0 : 3 3 Запишите уравнение касательной к графику функции: в точке с абсциссой х 0 = 3. Решение 1) f(х 0 ) = 3 2 – 4 = 5; 2) f (х) = 2x ; 3) f (х 0 ) = 23 = 6; y = 5 + 6(x – 3); y = 6x – 13 y = 5 + 6x – 18;

4 4 х 0 = – х 0 = – 1.

Рассмотрим функцию f(x). Найдем f (x). Если на некотором интервале f (x) > 0, то f(x) возрастает. f (x) < 0, то f(x) убывает. Точки, в которых f (x) = 0 или не существует, называются критическими точками. Эти точки могут быть точками экстремума (максимум или минимум). f (x 0 ) = 0 x 0 – критическая точка Монотонность и точки экстремума функции

х 0 х 0 f (х) х – + Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «+» на «–», то это точка максимума. х 0 х 0 f (х) х –+ Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «–» на «+», то это точка минимума. х 0 х 0 f (х) х + + Если производная не изменяет знак, то критическая точка не является точкой экстремума.

Правило нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции 1. Найти производную функции f (x); 2. Найти критические точки ( f (x)=0) ; 3. Исследовать знак производной на промежутках, определить точки максимума, минимума и промежутки монотонности; 4. Вычислить значения функции в точках экстремума

1 1 Найдите промежутки монотонности и экстремум функции: а) б) в)

Выпуклость и точки перегиба функции Найдем f (x). Если на некотором интервале f (x) > 0, то f(x) выпукла вниз. f (x) < 0, то f(x) выпукла вверх. Точки, в окрестности которых f (x) меняет знак, называются точками перегиба. х 0 – точка перегиба f (х) х 0 х 0 х – + х у Выпукла вверх Выпукла вниз точка перегиба

Правило нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба 1. Найти производную функции f (x); 2. Найти вторую производную функции f (x) ; 3. Найти критические точки ( f (x) =0) ; 4. Исследовать знак второй производной на промежутках, определить точки перегиба и промежутки выпуклости; 5. Вычислить значения функции в точках перегиба

1 1 Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции: а) б) в) Страница 115, 59 (2) Домашнее задание – стр. 115, 58(2), 59 (1,3)

Схема исследования функции 1. Область определения D(y); 2. Четность / нечетность; 3. Точки пересечения с осями; 4. Промежутки монотонности (возрастания / убывания), точки экстремума ( f (x)) ; 5. Выпуклость / вогнутость, точки перегиба (f (x)) ; 6. Таблица дополнительных значений, график.

3 3 Исследуйте функцию и постройте график

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке а в х у а в х у а в х у max min max min max min Нет extr. Max и min – на концах. Есть extr. Max и min могут быть на концах или в точках extr. Сформулируйте алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции 1. Найти производную функции f (x); 2. Найти критические точки ( f (x)=0), проверить принадлежат ли они заданному промежутку ; 3. Вычислить значения функции в точках, которые принадлежат промежутку; 4. Вычислить значения функции на концах промежутка ( f(a) и f(b)) ; 5. Сравнить полученные значения, выбрать наибольшее и наименьшее значение функции

1 1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [-2; 0]. Решение

2 2 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [-1; 0].

Задача 1 Из квадратного листа жести со стороной 30 см надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным? 30 х х

Объем коробки: Решение Найти наибольшее значение функции V на отрезке [0; 30]

Задача 2 Как согнуть кусок проволоки длиной 20 см, чтобы площадь ограниченного ею прямоугольника была наибольшей? Задача 3 Представьте число 10 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Задача 4 Найдите число, которое в сумме со своим квадратом дает этой сумме наименьшее значение.

Н ЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если F ' (x) = f (x) Например: 1) 2) Таким образом, каждая функция имеет бесконечное количество первообразных, отличающихся на const

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех ее первообразных Нахождение интеграла называется интегрированием Это действие - обратное дифференцированию Например:

Формулы интегрирования f(x) f (x)dx k = constkx + c x x n

Формулы интегрирования f(x) f (x)dx ln|x| + c e x e x + c a x

Формулы интегрирования f(x) f (x)dx sinx- cosx + c cosxsinx + c tgx + c - ctgx + c

Свойства интеграла 1) 2) 3) 4)

1 1 1) Проверка:

1 1 2)

1 1 3) 4) 5) 6)

1 1 7) 8) 9)

Вычисление неопределенного интеграла 1) 2) 3) 2 2

Вычисление неопределенного интеграла 4) 5) 6) Богомолов Н.В. Стр (3,4) 11 (1,2) 12 13,14,15

П РИЛОЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Геометрические приложения неопределенного интеграла Если угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен k, то уравнение кривой

1 1 Найти уравнение кривой, проходящей через точку М(1;4), если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке равен : Решение: - общее уравнение кривой Подставим координаты точки М(1;4) в общее уравнение кривой

Физические приложения неопределенного интеграла Если скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону v, то закон движения находится по формуле

2 2 Скорость прямолинейного движения точки изменяется по закону Решение: - общий закон движения Подставим заданные условия в общий закон движения Найти закон движения, если за две секунды точка прошла 20 метров.

О ПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

a, b – пределы интегрирования; х – переменная интегрирования; f (х) – подынтегральная функция; Определенный интеграл

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница : F(х) – первообразная функции f(х)

Сравнение интегралов неопределенный определенный Результат интегрирования - функция- число Границы интегрирования нет Отрезок [a;b] Формулы интегрирования – общие Все свойства н.и. выполняются и для о.и.

Свойства определенного интеграла 1) 2) аcb

1 1 1) 2)

3) 4) 5)

6) 7) 8)

В ЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА РАЗНЫМИ МЕТОДАМИ

,где t = ( x ), = ( a ), = ( b ) Замена переменной в определенном интеграле

ПРИМЕРЫ: Вычислить интегралы 1) 2) 3) 4)

2)

3)

4)

Формула интегрирование по частям в определенном интеграле

S С помощью определенного интеграла можно вычислить площадь криволинейной трапеции. Вычисление площадей плоских фигур Криволинейной трапецией называется часть плоскости, ограниченная осью Ох, кривой y = f(x) и прямыми x = a и x = b. a b х у у = f(x)

S Если площадь находится ниже оси Ох, то интеграл нужно брать со знаком « – ». a b у

x y y = f(x) 0 y = g(x) Если фигура ограничена двумя кривыми, то используется формула:

S1S1 a b х у S2S2 с

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: кв. ед. у х 2 1 5

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

S a b у Если фигура, ограниченная параболой и осью Х, находится ниже оси Х, то площадь фигуры вычисляется по формуле: Чтобы найти границы интегрирования необходимо решить квадратное уравнение:

1 1 Д/З 2 2 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычисление объемов тел вращения a b х у S S (x) – площадь сечения, соответствующего координате х.

a b х у Рассмотрим тело, полученное вращением криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), вокруг оси х у = f(x)

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: 1 1 у х 1 0 куб. ед.

2 2 Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

1 1 Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: 2 2 Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: Д/З