ЛЕКЦИЯ

Построение графиков Ось ординат Ось абсцисс

График функции y=6/x

Кинетическая энергия твердого тела, совершающего поступательное и вращательное движение - кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которое это тело можно мысленно разбить.

При вращении тела вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью для i-й точки тела:

В общем случае движение – сумма поступательного со скоростью и вращательного с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции: Так как, то имеем:

Работа тела при падении Или Условились считать, что на поверхности земли тогда, т.е. Потенциальная энергия при гравитационном взаимодействии

Для случая гравитационного взаимодействия между массами M и m, находящимися на расстоянии r друг от друга, потенциальную энергию можно найти по формуле

Потенциальная энергия упругой деформации (пружины) Сила упругости, возникающая при деформации упругой пружины:

Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы, действующей на тело, и потенциальной энергии U. Связь между потенциальной энергией и силой Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем. Поле – особый вид материи, создаваемой телами, посредством которой осуществляется передача взаимодействия.

Проекции вектора силы на оси координат: С другой стороны, Следовательно,

Вектор силы можно записать через проекции. или где

Градиент – это вектор, показывающий направление наибыстрейшего изменения функции. Следовательно, вектор направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения U.

Закон сохранения механической энергии 40-е годы 19-го века - трудами Р. Майера, Г. Гельмгольца и Дж. Джоуля (все в разное время и независимо друг от друга) был доказан закон сохранения и превращения энергии. Рассмотрим систему, состоящую из N- частиц. Силы взаимодействия между частицами - - консервативные.

Для консервативной системы можно найти полную энергию системы: Для механической энергии закон сохранения звучит так: полная механическая энергия консервативной системы материальных точек остаётся постоянной.

Для замкнутой системы, можно записать: Полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.

Система, в которой механическая энергия переходит в другие виды энергии, называется диссипативной, сам процесс перехода называется диссипацией энергии. В диссипативной, изолированной от внешнего воздействия системе остаётся постоянной сумма всех видов энергии (механической, тепловой и т.д.) Здесь действует общий закон сохранения энергии.

Законы сохранения – следствие симметрии пространства – времени. Эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета. Три фундаментальных закона природы: закон сохранения импульса, момента импульса и энергии. Они тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.

В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т. е. равнозначность всех моментов времени (симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени). После замены момента времени t 1 на момент времени t 2, координаты и скорости частиц имеют в любой момент времени t 2 +t такие же значения, какие имели до замены, в момент времени t 1 +t.

В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т. е. одинаковость свойств пространства во всех точках (симметрия по отношению к сдвигу начала координат). Одинаковость следует понимать в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое, без изменения взаимного расположения и скоростей частиц, не изменяет механические свойства системы.

В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т. е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям (симметрия по отношению к повороту осей координат). Одинаковость следует понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на её механических свойствах.

Таким образом, законы сохранения проявляются как принципы запрета: любое явление, при котором не выполняются хотя бы один из законов сохранения, запрещено, и в природе такие явления никогда не наблюдаются. Всякое явление, при котором не нарушается ни один из законов сохранения, в принципе может происходить.

Фундаментальность законов сохранения заключается в их универсальности. Они справедливы при изучении любых физических процессов (механических, тепловых, электромагнитных, и др.). Они одинаково применимы в релятивистском и нерелятивистском движении, в микромире, где справедливы квантовые представления и в макромире.

Условие равновесия механической системы Механическая система будет находиться в равновесии, если на неё не будет действовать сила. Это условие необходимое, но недостаточное, так как система может при этом находиться в равномерном и прямолинейном движении.

По определению – условие равновесия системы. Так как, условие равновесия -

при и – состояние неустойчивого равновесия; – система находится в устойчивом равновесии.

Достаточным условием равновесия системы является равенство минимуму значения потенциальной энергии U (это справедливо не только для механической системы, но, например и для атома).

Абсолютно упругий удар – это такой удар, при котором не происходит превращения механической энергии в другие виды энергии. Применение законов сохранения Абсолютно упругий центральный удар

Систему можно считать замкнутой. Кроме того, при абсолютно упругом ударе она консервативна.

Воспользуемся законом сохранения механической энергии и законом сохранения импульса (в проекциях на ось x): - скорости шаров после столкновения.

Решим эту систему уравнений относительно и :

Стенку можно рассматривать как неподвижный шар с массой Абсолютно упругий удар шара о неподвижную массивную стенку.

Рассмотрим столкновение шаров массами m 1 и m 2, их скорости до удара - Абсолютно неупругий удар Абсолютно неупругий удар – это столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются и двигаются дальше, как единое целое.

– скорость движения шаров после удара. При равенстве масс и скоростей шаров, двигавшихся навстречу друг другу:

Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетических энергий до и после удара:

Отсюда: Если

Когда (масса неподвижного тела очень большая), то и почти вся кинетическая энергия при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Когда тогда и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение, а не на остаточную деформацию (например, молоток – гвоздь).

Абсолютно неупругий удар – пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.

Конец лекции