Первухин Михаил Александрович Доцент кафедры математики и моделирования Лекция 4. Теория игр Игры с природой. Первухин Михаил Александрович :39

Принятие решений в условиях полной неопределённости Природа объективно существующие условия или обстановка, в ко­торых приходится принимать решение, на которые человек никак не мо­жет воздействовать и которые наступают независимо от его действий.

Альтернативы Платежи при различных состояниях природы Платёжная матрица

Алгоритм составления платёжной матрицы

Модель торговца прохладительными напитками Сезонный торговец прохладительными напитками продаёт напитки в сезон (в августе), а заказать их поставку от оптовика и оплатить заказ он должен уже в марте. Оптовик поставляет прохладительные напитки только малыми (1000 л), средними (2000 л) или крупными (3000 л) партиями. Торговец закупает напитки в марте по цене 1 ден. ед./л, продаёт их в августе по цене 1,5 ден. ед./л, а если к концу сезона (к сентябрю) у него остаются нераспроданные напитки, он возвращает их оптовику, но уже по цене 0,7 ден. ед./л.

По своему прошлому опыту торговец знает, что объёмы продаж прохладительных напитков зависят от состояния погоды в августе. Так, если в августе будет холодно, то объём продаж составит скорее всего 500 л, если прохладно 900 л, если тепло 2000 л и если жарко 2800 л. Торговцу необходимо принять решение о том, какую партию прохладительных напитков ему следует заказать у оптовика в марте, чтобы получить наибольшую прибыль от их продажи в августе.

{Платёж}={Доходы от продажи}-{Затраты}+ {Выручка от возврата нераспроданных напитков} Платёжная матрица торговца прохладительными напитками Альтер- нативы Прибыль

Пример расчёта платежа Если в августе будет холодно, то доход продавца составит 1,5 ден. ед./л х 500 л = 750 ден. ед., выручка от возврата напитков 0,7 ден. ед./л х 1500 л = 1050 ден. ед. и прибыль (точнее убыток), составит ден. ед ден. ед. = = -200 ден. ед. Это значение заносится в матрицу платежей в ячейку, образованную пересечением второй строки и первого столбца.

Матрица рисков Матрица рисков показывает, насколько рискует ЛПР, приняв неоптимальное решение при данном состоянии природы, и насколько при этом будут велики его убытки. Чем сильнее отличается принятое решение от оптимального, тем значительнее будет величина убытков и степень риска.

Алгоритм составления матрицы рисков

Матрица рисков торговца прохладительными напитками Альтер- нативы Риски

Примеры расчёта рисков

Модель выбора акций Инвестор желает инвестировать свои деньги в акции одной из трёх фирм, W, V и U. Прогнозируемые доходы на одну акцию (см. табл.) зависят от состояния экономики в будущем (например, через месяц, квартал, год и т. д.), которые инвестор оценивает как неблагоприятное, благоприятное и отличное. Акции какой фирмы следует выбрать инвестору?

Платёжная матрица операции инвестиций в акции Акции фирм Доход на одну акцию при различных состояниях экономики в будущем, % Неблагоприятное (С 1 ) Благоприятное (С 2 ) Отличное (С 3 ) W V U

Акции фирм Риск инвестора на одну акцию при различных состояниях экономики в будущем, % Неблагоприятное (С 1 ) Благоприятное (С 2 ) Отличное (С 3 ) W 1102 V 0312 U 950 Матрица рисков инвестиций в акции

Критерий Лапласа

Алгоритм

Применение критерия Лапласа к модели выбора акций Акции фирм Критерий Лапласа W V U Акции фирм Доход на одну акцию при различных состояниях экономики в будущем, % Небл. (С 1 )Благ. (С 2 )Отл. (С 3 ) W V U

Максиминный критерий (критерий Вальда) Критерий позволяет принимать такое решение, которое гарантирует некоторый выигрыш даже при наступлении самого неблагоприятного состояния природы, так что при реализации более благоприятных состояний природы ЛПР получит больший выигрыш. Применение максиминного критерия оправдано для осторожного, не склонного к риску ЛПР, а также в ситуациях, в которых получение отрицательного результата недопустимо, например, когда речь идёт о безопасности людей и их здоровье.

Алгоритм

Акции фирм W V U Акции фирм Доход на одну акцию при различных состояниях экономики в будущем, % Небл. (С 1 )Благ. (С 2 )Отл. (С 3 ) W V U Применение критерия Вальда к модели выбора акций

Максимаксный критерий ЛПР, применяющий максимаксный критерий, склонен к риску и верит, что наступит такое состояние природы, при котором его выигрыш будет наибольшим. Для такого ЛПР выигрыш имеет большую значимость, чем проигрыш (выигрыш все, проигрыш ничто).

Алгоритм

Определение наилучшего решения по максимаксному критерию Акции фирм W V U Акции фирм Доход на одну акцию при различных состояниях экономики в будущем, % Небл. (С 1 )Благ. (С 2 )Отл. (С 3 ) W V U

Критерий минимаксного риска (критерий Сэвиджа) Критерий сожалеющего пессимиста предполагает минимизацию наибольшей потерянной прибыли, иными словами минимизируется наибольшее сожаление по потерянной прибыли.

Наилучшее решение по критерию Сэвиджа гарантирует получение наименьших потерь в наихудших условиях. Другими словами, критерий Сэвиджа выбирает то решение, при котором минимизируются риски (потери) при возможном наступлении наихудших состояний природы.

Алгоритм

Акции фирм W V U Определение наилучшего решения по критерию Сэвиджа Акции фирм Риск инвестора на одну акцию при различных состояниях экономики в будущем, % Небл. (С 1 )Благ. (С 2 )Отл. (С 3 ) W 1102 V 0312 U 950

Критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица) Критерий Гурвица в условиях неопределённости не рекомендует при принятии решения руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом; он придерживается некоторой середины и занимает промежуточное положение между максиминным критерием Вальда (пессимистичным) и максимаксным критерием (оптимистичным).

Алгоритм

Акции фирм W-928-5,411,25,8 V2181,27,28,4 U-730-4,2127,8

Пример