Способы решения тригонометрических уравнений Разработала: Наркевич Тамара Анатольевна учитель математики, высшей кв.категории Учебно-воспитательный комплекс «Лицей 10» г. Марганец Днепропетровской обл.

ФОРМА: урок - презентация

ЦЕЛЬ: Ознакомить учащихся с общей схемой решения тригонометрических уравнений различных типов; Формировать умения решать тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным и однородные уравнения.

Первый шаг к успеху при решении тригонометрических уравнений – это умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, где a - действительное число.

К настоящему моменту мы знаем, что: Если |a|1, то решения уравнения cosx=a имеют вид x=±arccosa+2πn, nєZ; Если |a|1, то решения уравнения sinx=a имеют вид x=(-1) n arcsina+πn, nєZ; или, что то же самое, x1=arcsina+2πk, kєZ x2=π-arcsina+2 пк, kєZ; Если |a|>1, то уравнения cosx=a, sinx=a не имеют решений; Решения уравнения tgx=a для любого значения a имеют вид x=arctga+πn, nєZ.

Особо важны частные случаи:

Найдите ошибку и назовите правильный ответ:

Способы решения тригонометрических уравнений Разложение на множители (вынесение за скобку, формулы сокращённого умножения и пр.) Уравнения, приводимые к квадратным. Однородные уравнения Уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного угла. Уравнения, решаемые с помощью тригонометрических формул (суммы и разности, сложения, двойного угла и пр.)

Уравнения, приводимые к квадратным Например : a +b + c = 0

Например : a +b +c=0

Например : a + b +c =0 |·tgx0 a + b +c=0

Решение: sinx =t |t| 1, т. к. E(sinx)=[-1;1] at² +bt + c =0 cosx =t |t|1, т. к. E(cosx)=[-1;1] tgx =t t R, т. к. E(tgx)=R

Метод введения новой переменной Пример 1

Пример 2

Решите самостоятельно

Решение: Пусть sinx=t, -3 не удовлетворяет условию

Уравнения вида asinx+bcosx=0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени Уравнения вида asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени Однородные уравнения

Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где a0, b0. Разделив обе части уравнения почленноее на cosx, получим: В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:

Примеры 1. Решить уравнение 2sinx-3cosx=0 Решение. Разделив обе части уравнения почленноее на cosx, получим 2tgx-3=0; tgx=1,5; x=arctg1,5 + π n, n є Z; Ответ: arctg1,5 + π n, n є Z.

Решите самостоятельно уравнение: sin2x+cos2x=0

Решение: Почленно разделив обе части уравнения на cos2x0, получим:

Рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второй степени asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0.

Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений второй степени Посмотреть, есть ли в уравнении член asin 2 x; Если этот член содержится, то есть а 0, то уравнение решается делением обеих его частей на cos 2 x и последующим введением новой переменной z=tgx; Если этот член не содержится, то есть а=0, то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx;

Примеры 1. Решить уравнение sin 2 x-3sinxcosx+2cos 2 x=0. Решение: sin 2 x-3sinxcosx+2cos 2 x=0 /÷cos 2 x0; tg 2 x-3tgx+2=0; Введем новую переменную z=tgx; z 2 -3z+2=0; z 1 =1, z 2 =2; tgx=1; x= π/4+ πn, n є Z; tgx=2; x=arctg2 + πk, k є Z; Ответ: + πn, n є Z, arctg2 + πk, k є Z.

2. Решить уравнение 3sinxcosx+cos 2 x=0. Решение:

Решите самостоятельно

Решение Ответ:

Решите уравнения

Среди предложенных уравнений выберите уравнения, приводимые к квадратным и однородные уравнения:

однородное тр. уравнение квадратное тр. уравнение приводящиеся к кв.тр.уравнение приводимое к однородному тр. ур неизвестный тип тр. уравнения

ВЕРНО! МОЛОДЦЫ! Далее

Подумайте! Вернуться к заданию

однородное тр. уравнение квадратное тр. уравнение приводящиеся к кв.тр.уравнение приводимое к однородному тр. ур неизвестный тип тр. уравнения

ВЕРНО! МОЛОДЦЫ! Далее

Подумайте! Вернуться к заданию

однородное тр. уравнение квадратное тр. уравнение приводящиеся к кв.тр.уравнение приводимое к однородному тр. ур неизвестный тип тр. уравнения

ВЕРНО! МОЛОДЦЫ! Далее

Подумайте! Вернуться к заданию

однородное тр. уравнение квадратное тр. уравнение приводящиеся к кв.тр.уравнение приводимое к однородному тр. ур неизвестный тип тр. уравнения

ВЕРНО! МОЛОДЦЫ! Далее

Подумайте! Вернуться к заданию

однородное тр. уравнение квадратное тр. уравнение приводящиеся к кв.тр.уравнение приводимое к однородному тр. ур неизвестный тип тр. уравнения

ВЕРНО! МОЛОДЦЫ! Далее

Подумайте! Вернуться к заданию

однородное тр. уравнение квадратное тр. уравнение приводящиеся к кв.тр.уравнение приводимое к однородному тр. ур неизвестный тип тр. уравнения

ВЕРНО! МОЛОДЦЫ! Далее

Подумайте! Вернуться к заданию

однородное тр. уравнение квадратное тр. уравнение приводящиеся к кв.тр.уравнение приводимое к однородному тр. ур неизвестный тип тр. уравнения

ВЕРНО! МОЛОДЦЫ! Конец

Подумайте! Вернуться к заданию

Спасибо за внимание! Домашнее задание: п.39 – выучить; 466(а,б,в,г), 467(г,д,е,ж*).