1 Электростатикалық өрістің потенциалдығы. Дәріс 2
Кулон заңының әр түрлі кашықтықтар үшін тәжірибе жүзінде тексерілуі. Кавендиш әдісі. Максвелл, Резерфорд тәжірибелері. 2
Суперпозиция принципі бойынша зерттеліп отырған нүктедегі зарядталған дененің өрісінің кернеулігі Заряд дененің көлемінде, бетінде, не сызықтық дененің бойымен таралып, үздіксіз орналасуы мүмкін. - зарядтың сызықтық тығыздығы τ - зарядтың беттік тығыздығы σ - зарядтың көлемдік тығыздығы ρ 3
Осінен r арақашықтықтағы шексіз ұзын бірқалыпты зарядталған дененің (немесе цилиндрдің) өріс кернеулігі Шексіз бірқалыпты зарядталған беттің өріс кернеулігі Екі паралелль шексіз бірқалыпты немесе әр аттас зарядталған беттің өріс кернеулігі 4
Гаусс теоремасы. Зарядталған денелердің тудыратын электр өрісінің кернеулігі Гаусс теоремасын канағаттандырады. Бұл теорема бойынша, электр өpici кернеулігінің тұйық бет бойымен алынған ағыны сол беттің ішінде орналасқан зарядтардың алгебралық қосындысының вакуум электрлік өтімдігіне қатынасына тең. Егер тұйық бет ішінде заряд болмаса, ағын нөлге тең болады. Гаусс теоремасы математикалық түрде былай жазылады: 5
Гаусс теоремасын тұйық бет ішінде орналасқан бір нүктелік заряд үшін дәлелдейміз. Осы нүктелік заряд орналасқан нүктеден d денелік бұрышпен шектелген беттің dS элементін тесіп өтетін q заряд тудыратын электр өрісінің ағыны: мұндағы - ds векторының бағыты осы бет элементіне жүргізілген нормальдың бағытымен анықталады, яғни. 6
Сондықтан Денелік бұрыштың анықтамасы бойынша Соңғы өрнектің екі жағынанда тұйық бет бойынша интеграл алсақ, Тұйық бет ішінде нүктелік зарядтар системасы орналасқан болса суперпозиция принципін пайдалануға болады, яғни 7
Тұйық бет ішіндегі заряд белгілі бip көлем бойынша таралған болса, заряды бар көлемді өте кіші көлемдік элементтерге бөлеміз. Координаталары x',y',z' нуктені қамтитын i-ші элементтің заряды Осы нүктелік зарядқа Гаусс теоремасын қолдансақ: Суперпозиция принципі бойынша берілген зарядты қамтитын S бет бойымен алынған толық ағын: 8
Егер берілген зарядты қамтитын бет қатпарлы болса ( сурет), онда нүктелік зарядтан жүргізілген радиус- вектор қатпарларды тақ рет тесіп өтеді, қорытынды ағын тең болады. Сонымен, жалпы түрде Гаусс теоремасын былай жазуға болады 9
Электростатикалық өpic потенциал өpic деп аталады, ceбeбi бұл өрісте нүктелік зарядты бip нүктеден екінші нүктеге көшірген кезде істелетін жұмыс көшіру траекториясы ның түріне байланысты емес, тек бастапқы және соңғы нүктелердің коор- динаталарына ғана байла- нысты. 10
Егер q' нүктелік зарядты екінші нүктеден бipiншi нүктеге басқа траектория арқылы көшірсек, бұл кезде істелетін жұмыс, Олай болса, электростатикалық өрісте нүктелік зарядты тұйық контурмен (траекториямен) көшірген кезде істелетін жұмыс нөлге тең: Бұл шартты электростатикалық өрістің потенциалдығының шарты деп атайды. Кейде (2.1.3) формуланы электростатикалық өрістің потенциалдық шартының интегралдық түpi деп атайды. 11
Кез келген вектордан тұйық контур бойымен алынған интеграл сол вектордың циркуляциясы деп аталады. Сондықтан электростатикалық өрістің потенциалдығын оның циркуляциясының нөлге теңдігімен сипаттауға болады. Енді (2.1.3) өрнегіне Стокс теоремасын қолдансақ: (2.1.4) интегралы L контурға тірелген кез келген бет үшін нөлге тең болғандықтан (2.1.2-сурет): Бұл теңдеу электростатикалық өрістің потенциалдығының дифференциалдық түрде жазылуы. 12
q зарядтың туғызатын электростатикалық өрісін сипаттайтын тағы бір көмекші шама φ скалярлық потенциалды енгізуге болады. Бұл шаманы зарядтардың өзара әсерлесу потенциалдық энергиясының q зарядына қатынасымен анықтайды, яғни Ендеше Бұл өрнектің екі жағына да grad операторымен әсер етсек : 13
яғни Электростатикалық өрістің күштік сипаттамасы кернеулік пен оның энергетикалық сипаттамасы скалярлық потенциал φ өзара байланысқан. Потенциалдың кез келген нүктедегі мәнін анықтау үшін, белгілі бip нүктедегі оның мәнін өзіміздің қалауымыз бойынша аламыз да, басқа нүктелердегі мәндерін осы мәніне қатысты анықтаймыз. Осы әдісті потенциалды нормалау деп атайды. Нүктелік зарядтың нормаланған потенциалы: Нүктелік зарядтар системасының потенциалын табу үшiн нүктелік заряд потенциалының формуласын және суперпозиция принципін пайдалану керек:
Заряд белгілі бiр көлем бойынша тығыздықпен үзіліссіз таралған болса, заряд таралған көлемнің әpбip бөлімін нүктелік заряд ретінде қарастыруға боларлықтай етіп өте кішкентай бөліктерге бөлеміз. Сонда, әр бөліктің заряды болады. Енді суперпозиция принципін пайдаланып және өте кішкентай көлемдер бойынша алынған қосындының шегі интегралға тең екенін ескерсек, Электростатикалық өрiстегi эквипотенциал бет деп потенциалдары тең геометриялық нүктелер орнын айтады. Эквипотенциалбеттер Эквипотенциалбеттер күш сызықтары сияқты кеңiстiкте өрiстiң таралуын сипаттайды. Эквипотенциал беттiң әрбiр нүктесiнде кернеулiк вектор осы бетке перпендикуляр және потенциалдың кему жағына бағытталған.Эквипотенциалбеттер ешуақытта да қиылыспайды.
Эквипотенциалбеттер ешуақытта да қиылыспайды. Электростатикалық өрiсте кез келген өткiзгiштiң бетi эквипотенциалды болып табылады. Өткiзгiш iшiндегi өрiс кернеулiгi нөлге тең болғандықтан, өткiзгiштiң iшiндегi барлық нүктелерде потенциалдар бiрдей болады. Эквипотенциал бет бойымен зарядтың орынауыстыруы кезiнде өрiстiңжұмысы нөлге тең.зарядтың орынауыстыруы кезiнде өрiстiңжұмысы
Электр өрісін потенциалды пайдаланып, Кулон заңын тікелей қолданып және Гаусс теоремасын пайдаланып табу. 17