Sirtlarni togri chiziq bilan kesishishi. Togri chiziq bilan sirtlarning kesishish nuqtalari sirtlarning tekislik bilan kesishish chizigini yasashga asoslanib topiladi. Umuman, biror a togri chiziq bilan F sirtning kesishish nuqtasi quyidagicha aniqlanadi (8.1-shakl): Berilgan a togri chiziq orqali ixtiyoriy yordamchi R tekislik otkaziladi. R a. F sirt bilan R tekislikning kesishish chizigi m yasaladi. F R=m. m chiziq bilan berilgan a togri chiziqning kesishish nuqtasi V belgilab olinadi: a m=V. Malumki, berilgan togri chiziq orqali istalgancha tekislik otkazish mumkin. Agar yordamchi tekislik proyeksiyalovchi vaziyatda otkazilsa, masalaning yechilishi soddalashadi. Silindrik yoki konus sirtlar berilgan bolsa, togri chiziq orqali silindr yasovchilariga parallel yoki konus uchidan otuvchi tekislik otkazish maqsadga muvofiq boladi. 8.2-shaklda a togri chiziq bilan F ogma elliptik silindrning kesishish nuqtalarini yasash yaqqol tasvirda, 8.3-shaklda esa tekis chizmada korsatilgan. Kesishish nuqtalari E va E1 larni yasash tartibi quyidagicha:
8.1-shakl
berilgan a togri chiziq orqali silindrning yasovchilariga parallel qilib ixtiyoriy Q tekislik otkaziladi. Buning uchun a togri chiziqqa tegishli ixtiyoriy A nuqtani belgilab olib, u orqali b togri chiziqni silindrning yasovchilariga parallel qilib otkaziladi. Kesishuvchi a va b togri chiziqlar Q tekislikni ifodalaydi; Q tekislik bilan F silindrning kesishish chiziqlari va 1 yasovchilar yasaladi. Q tekislik va silindrning asos tekisligi R ning ozaro kesishish chizigi BS yasaladi. BS togri chiziqning silindr asosi m bilan kesishish nuqtalari 1 va 2 orqali va 1 yasovchilar (kesishish chiziqlari) otkaziladi; berilgan a togri chiziq bilan va 1 yasovchilarning kesishish nuqtalari E va E1 belgilab olinadi. Asosi N tekislikka tegishli bolgan togri doiraviy konus sirti bilan a togri chiziqning kesishishi va shakllarda tasvirlangan. Bu holda a togri chiziq orqali otuvchi yordamchi tekislik konusning uchidan otkaziladi.
8.2-shakl8.3-shakl
P tekislikning PH gorizontal izini yasab olamiz. Buning uchun a togri chiziqning aH gorizontal izini topib, u orqali gorizontalning gorizontal proyeksiyasi h ga parallel qilib PH iz otkaziladi. Konusning m asosi tekislikning PH izi bilan 2 va 3 nuqtalarda kesishadi. 2 va 3 nuqtalar S bilan tutashtirib, S 2 va S 3 yasovchilar hosil qilinadi. Bu yasovchilar a togri chiziq bilan kesishib, E va E1 nuqtalarni xosil qiladi. E va E1 nuqtalardan proyeksion boglanish chiziqlari otkazilib, a togri chiziq bilan kesishish nuqtalari E va E1 belgilab olinadi. 8.6-shaklda xususiy holda berilgan a(a, a ) va b(b, b ) togri chiziqlarning togri doiraviy konus bilan kesishish nuqtalarini yasash korsatilgan a togri chiziq gorizontal proyeksiyalovchi, b togri chiziq frontal proyeksiyalovchi bolganligi sababli kesishish nuqtalarining bittadan proyeksiyalari E va F L (mos ravishda gorizontal va frontal proyeksiyalari) malum bolib qoladi. Ularning ikkinchi proyeksiyalarning topilishini shakldan korib tushunish qiyin emas. Togri chiziqning sfera bilan kesishishi 8.7-shaklda tasvirlangan. a(a, a ) togri chiziqning sfera bilan kesishish nuqtalarini yasash uchun bu togri chiziq orqali M(Mn) gorizontal proyeksiyalovchi tekislik otkaziladi. Bu tekislik sferani diametri 1 2 kesmaga teng bolgan aylana boyicha kesadi. 1 2 diametrli aylananing gorizontal proyeksiyasi tekislikning MH izi bilan ustma-ust tushadi: 1 2 MN.
Berilgan a togri chiziq bilan 12 diametrli aylananing kesishish nuqtalari E va F larning proyeksiyalari V tekislik M ga parallel bolgan ixtiyoriy V tekislik bilan almashtirish orqal yasaladi. Agar a(a, a ) togri chiziq aylanish sirtining aylanish oqi bilan kesishadigan vaziyatda berilgan bolsa (8.8-shakl), u holda togri chiziqni bu oq atrofida aylantirib, uning aylanish sirti bilan kesishish nuqtalarini osongina yasash mumkin. Sirtlarning proyeksiyalovchi tekisliklar bilan kesishishi. Odatda, kesim chizigi konturining proyeksiyalarini yasash uning tayanch nuqtalarini topishdan boshlanadi. Agar sirtni kesuvchi tekislik proyeksiyalovchi bolsa, kesim chizigining proyeksiyalarini yasash soddalashadi, chunki bu holda kesishish chizigining proyeksiyalaridan biri togri chiziq kesmasidan iborat boladi. Quyida bazi sirtlarning proyeksiyalovchi tekisliklar bilan kesishishini korib chiqamiz.
8.9-shaklda ogma elliptik konusning N1(N1v) gorizontal tekislik bilan kesshishi korsatilgan. Bunda konusning bir necha yasovchilari otkaziladi va ularning kesuvchi tekislik bilan kesishish nuqtalari: dastlab A, V, S, D tayanch nuqtalari, songra Ye va F kabi oraliq nuqtalari yasaladi. Bu nuqtalarni tekis egri chiziq bilan tutashtirsak, kesishish chizigi xosil boladi. Kesishish chizigining A B frontal proyeksiyasi kesuvchi tekislikning frontal izi bilan ustma-ust tushadi. A(A, A ) va B(B, B ) nuqtalarning A va B gorizontal proyeksiyasi ular orqali otuvchi S1 va S2 yasovchilarning gorizontal proyeksiyalari S 1 va S 2 larda boladi. Konusning gorizontal S 3, S 4 ocherk yasovchilari bilan N1 tekislikning kesishish nuqtalarini yasash uchun bu yasovchilarning frontal S 3 va S 4 proyeksiyalari bilan tekislikning H1v izi bilan kesishish nuqtalari S va D lar belgilab olinadi. Bu nuqtalardan proyeksion boglanish chiziqlari otkaziladi va ularning S 3, S 4 yasovchilar bilan kesishgan nuqtalari C va D nuqtalar topiladi.
Kesimning oraliq nuqtalarini yasash uchun A V kesmada ixtiyoriy E F nuqtalar belgilab olinadi. Bu nuqtalar orqali S5,S6 yasovchilarning frontal proyeksiyalari otkaziladi, songra ularning S 5 va S 6 gorizontal proyeksiyalari topiladi va ularda E va F nuqtalar belgilab olinadi. Shu tarzda yana bir necha nuqtalarning gorizontal proyeksiyalari yasaladi. Gorizontal proyeksiyada kesimning korinishligi aniqlanib, kesish chizigining nuqtalari tekis egri chiziq boyicha tutashtiriladi shaklda sferaning N frontal proyeksiyalovchi tekislik bilan kesishuvi tasvirlangan. Bu holda kesimning A C frontal proyeksiyasi tekislikning NV frontal izi bilan ustma-ust tushadi. Kesimning gorizontal proyeksiyasi esa nuqtalarning sferaga tegishlilik shartiga kora yasaladi. B va B1 nuqtalar sferaning ekvatoriga tegishli bolganligi uchun ularning B va B1 gorizontal proyeksiyalari gorizontal proyeksiyaning ocherkida belgilab olinadi. A va C nuqtalarning gorizontal proyeksiyalari A va S nuqtalar esa sfera bosh meridianining gorizontal proyeksiyasida yotadi. Kesimga tegishli ixtiyoriy D va D1 nuqtalarning D va D1 gorizontal proyeksiyalarini yasash uchun D D1 nuqta orqali gorizontal tekislikning NIV frontal izi otkaziladi. Bu tekislik sferani radiusi 0 1 ga teng bolgan aylana boyicha kesadi. Bu aylanani gorizontal proyeksiyasida D va D 1 nuqta xosil qilinadi. Oraliqdagi boshqa ixtiyoriy nuqtalarning gorizontal proyeksiyalari ham xuddi shunday yasaladi.
Gorizontal proyeksiyada hosil bolgan nuqtalarning korinishligi aniqlanadi. Gorizontal proyeksiyada sferaning ekvatoridan yuqorida joylashgan hamma nuqtalar korinadi, pastki qismida joylashgan nuqtalar esa korinmaydi. Shaklda kesim yuzining haqiqiy kattaligini yasash aylantirish usulida bajarib korsatilgan. Ikki silindrning ozaro kesishishi. 8.11–shaklda ozaro kesishuvchi ikki silindrdan birining oqi gorizontal proyeksiyalovchi, ikkinchisining oqi frontal proyeksiyalar tekisligiga parallel bolgan holda tasvirlangan. Bularning kesishish chizigini yasashda yordamchi kesuvchi tekisliklar V tekislikka parallel boladi. Ularning ozaro vaziyati chizmaning gorizontal proyeksiyasidan korinib turibdi. Kesishish chizigining xarakterli 1 (1, 1"), 2 (2, 2"), 4 (4, 4"), 5 (5, 5") nuqtalari yordamchi kesuvchi frontal V1H, V2H, V3H,… tekisliklar yordamida hosil qilingan. Bunda yordamchi parallel tekisliklar har ikkala silindrni yasovchilari boyicha kesadi. Bir tekislikda yotuvchi ikki silindrga mansub bolgan yasovchilarning kesishish nuqtalari ikkala sirt uchun umumiy bolib, yasaladigan m (m, m") egri chiziqning nuqtalari boladi. m egri chiziqning qolgan nuqtalari V1H va V2H tekisliklar orasida yordamchi kesuvchi tekisliklar otkazish bilan yasalgan.
8.11-shakl
Oqlari uchramas va H yoki V ga perpendikulyar bolgan aylanish sirtlarining ozaro kesishish chizigini yasash. Kesuvchi sirtlardan 8.12-shaklda doiraviy silindr oqi V tekislikka va doiraviy konus oqi H tekislikka perpendikulyar bolganda yordamchi parallel kesuvchi tekisliklar gorizontal proyeksiya tekisligi boladi. Bu tekisliklar konusni aylanalar va silindrni yasovchilari boyicha kesadi. Hosil bolgan aylana va yasovchilar ozaro kesishib, kesishish chizigining nuqtalarini hosil qiladi. Kesishish chizigining A (A, A"), B (B, B"), C (C, C"), nuqtalari xarakterli nuqtalardir. Ular bevosita sirtlar frontal ocherklarining kesishish nuqtalarida belgilanadi. Qolgan nuqtalar kesuvchi tekisliklar yordamida yasaladi. Masalan, 1,2,3,4 nuqtalar H1 H,… va H4 H tekisliklar otkazib, gorizontal proyeksiyadagi q va q1 aylanalarning va a, b, c va d togri chiziqlar bilan chegaralangan tortburchak kesimlarining kesishuvidan hosil qilingan. qolgan nuqtalar ham shu tartibda hosil qilinadi. 2 (2, 2") xarakterli nuqta silindrning H2 simmetriya tekisligini otkazish yoli bilan topiladi. Kesishish chizigining korinadigan va korinmaydigan nuqtalari ham H2 simmetriya tekisligi yordamida aniqlanadi.
Kopyoqliklar yoyilmalari. Sirtning biror bolagining chozilmasdan, yirtilmasdan tekislikka yoyilishidan hosil bolgan tekis shakl uning yoyilmasi deyiladi. Kopyoqliklar tola yoyilmasini yasash uchun uning yon yoqlari va asoslarining yoyilmalari yasaladi. Bunday yoqlar (uchburchak yoki kopburchak) ni yoyilmada yasash ularga teng bolgan yoqlarni yasash demakdir. Bunday yoqlarni yoyilmada yasash uchun tomonlari yani qirralarining haqiqiy uzunliklari bolishi kerak. Agar ularning haqiqiy uzunliklari chizmada bolmasa, ularni turli usullar bilan yasash mumkin. 1-Misol: Asosi N tekislikda yotgan uchburchakli togri prizmaning yoyilmasini yasash kerak bolsin (8.13 a,b-shakl). Bu prizmaning yon qirralari frontal proyeksiyada, asosidagi qirralari esa gorizontal proyeksiyada haqiqiy uzunlikda tasvirlanadi. Prizmaning yoyilmasini yasash uchun dastlab uning biror masalan, AA qirrasi boylab xayolan kesish kerak. Songra uchta togri tortburchaklar (yon yoqlar) yonma-yon qoyib yasaladi. Bu torburchaklarning balandligi prizmaning balandligiga (h) ga, asoslari esa mos ravishda A B, B S va S A kesmalarga teng boladi. Hosil bolgan yon sirtning yoyilmasiga asoslari qoshiladi va prizmaning tola yoyilmasi hosil boladi.
8.14 a,b-shakllarda berilgan uch yoqli ogma prizmaning yon qirralari frontal vaziyatda bolgani uchun ularning haqiqiy uzunliklari A A1, B B1 va C C1 kesmalarga teng boladi. Asoslari gorizontal vaziyatda bolganligi uchun asos qirralarining haqiqiy qiymati A B, B A va S A kesmalarga teng boladi. Bunday ogma prizmaning yoyilmasini normal kesim usulida yasash qulay hisoblanadi. Buning uchun ogma prizmaning yon qirralariga perpendikulyar qilib ixtiyoriy tekislik otkaziladi. Normal kesim 123 uchburchakning proyeksiyalari (1 2 3, ) ni hosil qilinadi. Songra normal kesimning haqiqiy kattaligi Δ aylantirish usulida yasaladi. Yoyilmani yasash uchun ixtiyoriy (bosh) joyda a0 – yordamchi chiziqni ingichka qilib otkaziladi. Bu chiziqqa normal kesim tomonlarning haqiqiy uzunliklari biror (masalan, 30) nuqtadan boshlab olchab qoyiladi (10.3,b- shakl). Hosil bolgan 30, 10, 20 va 30 nuqtalardan a0 chiziqqa perpendikulyar vaziyatda chiziq otkaziladi. Bu chiziqlarga qirralarning haqiqiy uzunliklari olchab qoyiladi. Chiziqda SS1 qirraning olchab qoyilishi korsatilgan. Hosil bolgan qirralar uchlari ozaro tutashtirib prizma yon sirtining yoyilmasi qoshilib tola yoyilma yasaladi.
8.13-shakl
8.14-shakl
2-Misol 8.15 a-shaklda berilgan yon qirralari umumiy vaziyatda bolgan uch yoqli prizmaning yoyilmasini yasash talab etilsin. Mazkur masala yuqorida keltirilgan masala asosida yechilishini takidlash kerak. Buning uchun dastlab prizma qirralari va normal kesimining haqiqiy uzunliklarni yasash kerak boladi. Buni esa proyeksiyalar tekisliklarini (prizma qirralariga paralel vaziyatda) almashtirish Bilan amalga oshirish maqsadga muvofiq boladi. Chizmadagi qolgan yasashlar va yoyilma (8.15 b-shakl) ning hosil qilinishi ortiqcha tushuntirishlarni talab qilmaydi.
8.15-shakl 7.14-shakl 7.15-shakl 7.16-shakl a)b)
Konus sirtlarning yoyilmalarini yasash. Umumiy holdagi konus sirtining yoyilmasi ham piramida yoyilmasini yasashdagidek, uchburchaklar usuli bilan bajariladi. Buning uchun konus oziga ichki chizilgan kopyoqlik piramidaga approksimatsiya qilinadi va shu piramidaning yoyilmasi konus sirtining yoyilmasi deb qabul qilinadi. Ichki chizilgan kopyoqlik piramidaning yoqlari qanchalik kop bolsa, konus sirtining yoyilmasi shunchalik aniq boladi a-shaklda asosi N tekislikka tegishli F ogma konus tasvirlangan. Bu konusning yoyilmasini yasashda uchburchaklar usulidan foydalanamiz. Konusni oziga ichki chizilgan piramidaga approksimatsiyalaymiz. Konus yasovchilari (piramida qirralari)ning haqiqiy uzunliklarini yasash shaklda aylantirish usulida bajarilgan.
ETIBORINGIZ UCHUN RAXMAT