Лекция 5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА Основная задача механики Замкнутая система тел Закон сохранения импульса Центр инерции и законы его движения.

5.1. Основная задача механики Основная задача механики: определить закон движения материальной точки, если известны действующие на нее силы. Для ее решения в начале с помощью основного закона динамики (II закон Ньютона) находим ускорение, с которым движется материальная точка. Затем с помощью известных формул кинематики ищут выражения для скоростей и координат.

5.2. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА ТЕЛ Не все окружающие тела действуют на данное тело с одинаковыми силами. Так, если спутник Земли движется вокруг Земли по орбите с радиусом r 8000 км, то Солнце действует на него с силой, которая значительно меньше притяжения Земли где R=1, м, М З = кг, М С = кг.

Этот расчет показывает, что мы можем в первом приближении отвлечься от действия на спутник всех сил, кроме силы тяготения Земли. Следовательно, можно рассмотреть систему, состоящую из двух тел спутника и Земли, и считать, что их взаимодействия в основном определяет характер движения спутника. Все остальные тела можно считать внешними по отношению к этой системе и действие этих тел учесть в виде поправок к основной силе. Принято силы, с которыми взаимодействуют между собой составные части системы, называть внутренними силами.

Внешними, называются силы, с которыми вся система или отдельные тела, входящие в ее состав, взаимодействуют с окружающими телами. Система тел называется замкнутой (или изолированной), если можно пренебречь действием внешних сил по сравнению с внутренними. Так, в рассмотренном примере систему тел Земля-спутник можно в первом приближении рассматривать как замкнутую.

С еще большей степенью можно считать замкнутой солнечную систему. Действительно, силы взаимодействия между Солнцем и планетами значительно превосходят силы, с которыми эти планеты действуют на даже самые близкие звезды. Ближайшая к Солнечной системе звезда расположена на колоссальном расстоянии R Зв =4,5 св. года=4, км расстояние же от Земли до Солнца r=1, км. Полагая, что масса звезды примерно равна массе Солнца, получим

Понятие замкнутой системы является весьма полезной абстракцией, ибо в таких системах все явления описываются с помощью наиболее простых и общих законов. Поэтому всюду, где это, возможно, следует отвлечься от действия внешних сил и рассматривать изучаемую систему тел как замкнутую. Затем, если это необходимо, следует в решение, полученное в первом приближении, внести поправки, учитывающие характер возмущений, вносимых действием внешних сил.

5.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА: Суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется при любых процессах, происходящих в этой системе. Не следует думать, что этот закон требует неизменности импульса каждого тела, входящего в систему. Как раз, наоборот, благодаря действию внутренних сил импульсы тел, входящих в систему, все время меняются. Сохраняется лишь векторная сумма импульсов всех составных частей системы.

Пусть в момент времени первое тело имеет массу и скорость, а второе - массу и скорость ; в момент времени - соответственно и, и. II з-н Ньютона: Для 1-ого тела Для 2-ого тела III з-н Ньютона F 12 =-F 21

(5.1) Или (5.2) (5.3) При выводе закона сохранения импульса мы пользовались только законами Ньютона, причем в форме, которая справедлива как в релятивистской механике, так и в ньютоновской механике. Следовательно, закон сохранения импульса применим как в ньютоновской, так и в релятивистской механике, но в последней следует учитывать зависимость массы от скорости.

Сумма в левой части (5.3) представляет собой суммарный импульс системы, следовательно и тогда Это и есть закон сохранения импульса в дифференциальной форме: Векторная сумма количества движения или полный импульс замкнутой системы остается постоянным при любых взаимодействиях между телами этой системы. Этот закон является фундаментальным и выполняется при любых движениях, в том числе и релятивистских.

Из закона сохранения импульса вытекает два важных следствия закон движения центра инерции и закон аддитивности массы ЦЕНТР ИНЕРЦИИ И ЗАКОНЫ ЕГО ДВИЖЕНИЯ Пусть две материальные точки (частицы) с массами m 1 и m 2 расположены на оси абсцисс в точках с координатами Х 1 и Х 2. Расстояние между этими точками L = X 2 – X 1 (рис. 5.1). Точку C, которая делит расстояние между частицами на отрезки, обратно Рис. 5.1.

Поскольку L 1 =X ц X 1, L 2 =X 2 X ц, где X ц - координата центра инерции, то, откуда (5.5) Для N-материальных точек, расположенных произвольным образом абсцисса центра инерции ( 5.6 ) пропорциональные массам этих частиц, назовем центром инерции (или центром масс) данной системы частиц. Итак, по определению (5.4)

Аналогичные выражения получаются для ординаты Y ц и аппликаты Z ц центра инерции системы материальных точек. Определив абсциссу, ординату и аппликату, мы тем самым определим радиус-вектор центра инерции. (5.7) где и m i радиус-вектор и масса тел (частиц), входящих в систему. Центром инерции (центром масс) системы частиц с радиус-векторами называют точку с радиус- вектором

Тогда движение центра инерции для системы частиц (в том числе для тела любой формы конечных размеров) можно описать следующим образом где М – суммарная масса системы, - суммарный импульс.

Если сумма внешних сил не равна нулю, то движение центра инерции можно рассматривать как движение материи, в которой сосредоточена вся масса системы и координаты совпадают с центром масс. Уравнением ее движения является Коэффициент пропорциональности между импульсом системы и скоростью центра инерции (М) равен сумме масс составляющих частиц. В этом выражается закон аддитивности масс. Аддитивностью вообще, называют свойство, состоящее в том, что величина, характеризующая систему в целом, складывается алгебраически из величин того же рода, характеризующих каждую часть системы.

Задачу о характере движения центра инерции, решаем для случая, когда тела движутся со скоростями, много меньшими скорости света, когда массы являются постоянными величинами. Записав выражение (5.6) для двух моментов времени и вычитая одно из другого, получим (5.8) Разделив обе части равенства (5.8) на t = t 2 -t 1 и положив (компонента вектора скорости по оси абсцисс), имеем (5.9)

(5.10) где М – суммарная масса системы, - ее суммарный импульс. Поскольку в теории относительности масса тела зависит от скорости, то из формулы (5.6) не вытекает формула (5.9). В связи с этим в теории относительности выражения (5.9) и (5.10) не выводятся, а используются в качестве определяющих уравнений центром инерции системы называется точка, скорость которой равна отношению суммарного импульса системы к ее суммарной массе. Что же касается формулы (5.6), то ею в теории относительности не пользуются.

Следовательно, если система частиц замкнута, то ее суммарный импульс является постоянной величиной. Иными словами, центр инерции замкнутой системы совершает инерциальное движение, т.е. движется прямолинейно и равномерно независимо от того, как движутся отдельные тела, из которых составлена система. Следует обратить внимание на смысл этого утверждения. В замкнутой системе тел действуют внутренние силы, вследствие чего тела, входящие в состав системы, могут двигаться ускоренно и их скорости (и импульсы) могут непрерывно меняться. Однако это не сказывается на движении центра инерции. Итак, под действием внутренних сил скорость движения центра инерции не меняется.

Лекция окончена. Сегодня: вторник, 1 марта 2016 г. До свидания! УРА! УРА! УРА!