Волновой механизм процессов переноса в твердых телах

Кристаллическое тело Зоны Бриллюэна «Обратное» пространство – обратная решетка Решетка Колебания узлов Тепло – скорость – импульс Атомы (молекулы) в узлах решетки Поток – волна – волновой вектор

Квантовая квазичастица это физический объект: - переносящий энергию, импульс и вращательный момент без переноса вещества (волна), - воспринимаемый в реальном мире исключительно параметрами ядра (частица), - совершающий периодический колебательный процесс перехода энергии между веществом (оболочкой) и излучением - сохраняющий свою связность и цельность всё время свободного существования (и этим отличающийся от классического волнового пакета или волны). Идеальный фонон в пространстве представляет собой шар.

Оболочка фонона располагается между двумя плоскими фронтами наступающим и отступающим. Одиночный фонон представляет собой положительную волну с периодом равным π. Одинаковые квазичастицы из двух комплиментарных типов совмещаются, образуя волну с периодом 2π. Одинаковые квазичастицы из двух комплиментарных типов совмещаются, образуя волну с периодом 2π.

ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР - вектор k, определяющий направление распространения и пространственный период плоской монохроматической волны Волновой вектор вектор, направление которого перпендикулярно фазовому фронту бегущей волны, а абсолютное значение равно волновому числу. Волновой вектор монохроматической волны осциллирующего узла пропорционален его импульсу и обратно пропорционален длине волны. Согласно квантовой механике, свободное движение частицы можно представить как плоскую монохроматическую волну Ψ 0 : Ψ 0 ~ cos(k,x) – волна де Бройля с длиной волны λ=h/p k – волновой вектор и волновое число; направлен в сторону распространения волны или вдоль движения частицы m – масса частицы; p – ее импульс.

Реальная волна не монохром на: Связь между волновым вектором и частотой задаётся законом дисперсии. Все возможные значения волновых векторов образуют «обратное пространство» или k-пространство. Для описания движения частиц в твердом кристаллическом теле, обусловленным различными видами переноса (теплопроводность, электропроводность), удобно использовать специальную математическую абстракцию – «обратное пространство». Структура реального кристаллического тела отображается в этом пространстве с его системой координат (векторами базиса) как «обратная решетка».

Обратная решётка Пространственная решетка кристалла непригодна для анализа волновых процессов в кристалле (перенос, радиационное воздействие и т.д.). Кристаллическая решетка - решетка в обычном, реальном пространстве. Обратная решетка - решетка в пространстве Фурье (выраженного в волновых характеристиках). Другими словами, обратная решётка (обратное пространство, импульсное пространство) является Фурье-образом прямой кристаллической решетки (прямого пространства). Обратная решетка - точечная трехмерная решетка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Введение понятия обратной решетки и обратного пространства, сопряженных с прямой решеткой и прямым пространством, полезно при решении дифракционных задач физики твердого тела, оптики, структурного анализа, электронной микроскопии. Для описания периодического распределения отражающей способности кристалла по отношению к рентгеновским лучам также используют понятие обратной решетки.

Обратная решетка, соответствующая любой прямой решетке, описывающей реальную структуру кристалла, строится следующим образом: 1. Если обычная прямая решетка построена на векторах трансляций a,b,c, то оси обратной к ней решетки a*,b*,c* определяются как векторные произведения: a* = bc; b* = ca; c* = ab a* = bc; b* = ca; c* = ab 2. Осевые параметры обратной решетки a*,b*,c* равны обратным величинам межплоскостных расстояний плоских сеток прямой решетки, нормальных к этой оси. Т. е. вектор обратной решетки H* hkl нормален к каждой плоскости прямой решетки (hkl), а его длина определяется как величина, обратная межплоскостному расстоянию d hkl. Решетка с вектором H* hkl, построенная на базисных векторах a*,b*,c* называется обратной решеткой, векторы a*,b*,c* координатными векторами обратной решетки. Обратная решетка представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто описать условия протекания того или иного явления в твердом кристаллическом теле.

Основные векторы a*,b*,c* обратной решетки определяются также скалярными произведениями: aa* = bb* = cc* = 1; aa* = bb* = cc* = 1; a*b = a*c = b*c = b*a = c*b = c*a = 0 a*b = a*c = b*c = b*a = c*b = c*a = 0 Прямая и обратная решетка сопряжены взаимно, т. е. решетка, построенная на осях a,b,c, является обратной по отношению к решетке a*,b*,c*, а решетка, построенная на векторах a*,b*,c*, - обратной по отношению к решетке a,b,c. Дифракционная картина представляет собой карту обратной решётки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла.

Каждой плоскости (hkl) прямой решетки отвечает в обратной решетке узел [[hkl]]*.

Зона Бриллюэна отображение ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве. Зона Бриллюэна отображение ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве. Она обладает важным свойством: волны и частицы, волновой вектор которых находится на ее границе, удовлетворяют условию дифракции. Зоны Бриллюэна играют важную роль при рассмотрении движения электронов, фононов и других частиц в кристалле и при анализе энергетических зон в кристаллах. Первая зона Бриллюэна (часто называемая просто зоной Бриллюэна) может быть построена как объём, ограниченный плоскостями, которые отстоят на равные расстояния от рассматриваемого узла обратной решетки до соседних узлов. Аналогичным образом можно получить вторую, третью и последующие зоны Бриллюэна..

Первая зона Бриллюэна для простой кубической (а) и гексагональной решёток (b) Первая зона Бриллюэна кубической гранецентрированной решётки

Физический смысл обратной решетки Обратная решетка является важным математическим образом, находящим многочисленные применения в геометрической кристаллографии, в теории дифракции и структурном анализе кристаллов, в физике твердого тела. Например, понятие обратной решетки используется для описания периодического распределения отражающей способности кристалла по отношению к рентгеновским лучам. Отражение рентгеновских лучей от плоскостей структуры кристалла описывается формулой Вульфа-Брэгга из которого следует, что при постоянной длине волны рентгеновского излучения λ большому межплоскостному расстоянию для семейства параллельных отражающих плоскостей d отвечает малый угол падения θ, т. е., чем больше межплоскостное расстояние, тем ближе направления отраженных лучей к направлению падающего пучка.

К выводу формулы Вульфа Брэгга Отражения рентгеновских лучей от бесконечно протяженных идеальных кристаллов должны быть точечными. Каждый узел обратной решетки соответствует возможному отражению от плоскостей прямой решетки кристалла. Направление вектора обратной решетки H*hkl совпадает с направлением отражения от плоскостей hkl в прямой решетке, а n-ый узел обратной решетки в этом ряду отвечает отражению n-го порядка от этих плоскостей.

Дифракционные методы Для определения атомно-молекулярной структуры твердых тел используют дифракционные методы. Их классификация связана с видом используемого излучения. По ним методы дифракционного анализа структуры подразделяются на рентгенографию, электрографию и нейтронографию. Все эти методы основываются на том, что волны, проходя через кристаллическое вещество, испытывают дифракцию, т. к. кристаллическая решетка со средними межатомными расстояниями порядка является для них дифракционной решеткой. Длина волны излучения при этом должна быть сравнима с этими межатомными расстояниями. - Рентгеновское излучение при прохождении через кристалл взаимодействует с электронными оболочками атомов, и дифракционная картина отражает распределение электронной плотности в веществе, которую можно характеризовать как функцию координат. - Электронография использует электроны таких энергий, что они взаимодействуют не с электронными оболочками, а с электростатическим полем атома. Такое взаимодействие значительно сильнее, чем в случае рентгеновского излучения, поэтому интенсивность дифракции электронов примерно в 10 6 раз больше, чем для рентгеновских лучей.

При исследовании кристалла дифракционными методами на кристалл направляют почти параллельный пучок частиц, изучают распределение интенсивности дифракции этих частиц по разным направлениям (а иногда и при различных ориентировках кристалла), а затем по дифракционной картине делают выводы о типе элементарной ячейки кристалла и строении его базиса. Эти методы позволяют определять периоды кристаллической решетки с точностью до 4-5 знака и определять с точностью до 2-3 знака расположение атомов в базисе. Наиболее просто осуществима дифракция фотонов (рентгеновское излучение, гамма излучение), поэтому их используют чаще, чем дифракцию электронов, для наблюдения которой необходим высокий вакуум, или дифракцию нейтронов, для которой в качестве источника нейтронов нужен громоздкий ядерный реактор. Дифракция нейтронов и электронов очень похожа на дифракцию фотонов, поэтому достаточно рассмотреть применение дифракции фотонов для изучения структуры кристаллической решетки. Рассеяние электромагнитных волн узлами кристаллической решетки