Многогранники

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия» Ле Корбюдзе

Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная отрезками прямых По аналогии, многогранник можно определить как часть пространства, ограниченную плоскими многоугольниками

многогранники Однородные выпуклые Однородные невыпуклые Тела Платона Тела Архимеда Выпуклые призмы и антипризмы Тела Кеплера- Пуансо Невыпуклые призмы и антипризмы Невыпуклые полуправильные однородные многогранники

Правильные многогранники Тетраэдр Гексаэдр Икосаэдр Октаэдр Додекаэдр Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причём грани – правильные многоугольники одного типа

Архимедовыми телами называют выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани – правильные многоугольники нескольких типов Архимедовы тела

тела Архимеда

Выпуклые призмы и антипризмы

Тела Кеплера-Пуансо

Невыпуклые полуправильные однородные многогранники

Невыпуклые призмы и антипризмы

Призма. Пирамида.

Изображение призмы с данным многоугольником в основании: соединить их концы в той же последовательности, как и на заданном основании провести из вершин многоугольника параллельные прямые отложить на них равные отрезки

построить изображение основания пирамиды Изображение пирамиды: за изображение вершины можно принять любую точку, не принадлежащую сторонам изображения основания

высота изображается вертикальным отрезком основание высоты является центром окружности, описанной около основания В случае правильной пирамиды

призма основания боковая грань высота боковое ребро A1 An A2 В1В1 ВnВn В2В2 A1 A2…. An В1 В2….. Вn – n-угольная призма

Площадь поверхности призмы Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней S полн = S бок + 2S осн

Теорема: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту Дано: прямая призма h – высота а 1, а 2,… а n -стороны основания P – периметр основания Доказать: Sбок = P*h Доказательство: S бок = S 1+ S 2+……+ S n = =а 1* h+а 2* h+…..=а n* h = P*h h а 1 а 2 аnаn

пирамида основание боковая грань высота боковое ребро вершина Sполн =Sбок + Sосн A1 An A2 P PA1 A2…. An– n-угольная пирамида

Правильная пирамида О P h E R A1 An A2 Все ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой апофема

Теорема: площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания апофему h d а 1 а 2 аnаn Дано: правильная пирамида h – высота а 1, а 2,… а n -стороны основания P – периметр основания d-апофема Доказать: Sбок = 1\2 P*d Доказательство: S бок = S 1+ S 2+……+ S n = =1\2 а 1* d+1\2 а 2* d+…..1\2 а n* d = =1\2P*d

Усеченная пирамида Перпендикуляр, проведенный из какой- нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой Боковые грани усеченной пирамиды- трапеции высота основания Sбок = 1\2 P1*P2*d P1;P2-периметры оснований, d-апофема P A1 An A2