Лекция 11 Квазиклассический метод нахождения стационарных состояний Алексей Викторович Гуденко 03/05/2013.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Уравнение Шредингера в сферических координатах имеет вид: Данное уравнение Шредингера имеет решение в двух случаях:
Advertisements

Соотношение неопределенностей. Невозможно одновременно точно измерить координату и соответствующую проекцию импульса.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Туннельный эффект Частица в потенциальной яме Линейный гармонический осциллятор Уравнение Шредингера Вступление.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Если силовое поле не меняется с течением времени (поле стационарно) Решение уравнения Шредингера можно.
Уравнение Шредингера имеет 2 решения для собственных значений энергий молекулы Е, которые получаются в случае различной ориентации спинов электронов.
Опыты Резерфорда. Ядерная модель атома Постулаты Бора. Боровская теория атома водорода Квантовая теория атома водорода АТОМ ВОДОРОДА Вступление Квантовые.
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ «ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ» Основные понятия квантовой механики корпускулярно-волновой дуализм волны де-Бройля соотношение неопределенностей.
Элементы физики атомов и молекул. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром Z- заряд ядра r – расстояние.
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 1. Движение свободной частицы 2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными внешними.
Тема 2 СТРОЕНИЕ АТОМА. ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ЗАКОН И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА Д.И. МЕНДЕЛЕЕВА (в лекциях использованы материалы преподавателей химического факультета.
Корпускулярно-волновой дуализм Уравнение Шрёдингера Лекция 21 (4) ВоГТУ Кузина Л.А., к.ф.-м.н., доцент 2013 г. 1.
Операторы Рассмотрим некоторую физическую величину f, характеризующую состояние квантовой системы. Значения, которые может принять данная величина в квантовой.
Линейный гармонический осциллятор. Оператор Гамильтона для квантового осциллятора.
Волновые свойства частиц вещества. Формула де Бройля Квантовая гипотеза и формула де Бройля В ступление Свойства волн де Бройля Экспериментальное подтверждение.
Туннельный эффект. Квантовый осциллятор Лекция 3 Весна 2012 г. Лектор Чернышев А.П.
Атом водорода в квантовой механике Лекция 4 Весна 2012 г. Лектор Чернышев А.П.
Квантовая теория Семестр I Журавлев В.М.. Лекция V Стационарное уравнение Шредингера.
Квантовая теория атома 1913 год Постулаты Бора. Первый постулат Бора Атомная система может находиться только в особых, стационарных (или квантовых) состояниях,
Открытие электрона гг. У.Крукс. Катодные лучи г. Ж.Перрен. Отклонение катодных лучей в электрическом поле. Отрицательные частицы
1 Л.12 Квантование энергии Основные понятия и законы физики Самое полное на сегодня описание свойств вещества даёт квантовая физика. Вот некоторые её основные.
Транксрипт:

Лекция 11 Квазиклассический метод нахождения стационарных состояний Алексей Викторович Гуденко 03/05/2013

План лекции 1. Квантование момента импульса. 2. Квазиклассический метод нахождения стационарных состояний. 3. Гармонический осциллятор. 4. Нулевые колебания и соотношение неопределённостей. 5. Вращательные и колебательные уровни энергии 6. Электрон в кулоновском потенциале.

Операторы физических величин Постулат квантовой теории: Состояние, в котором физическая величина Q имеет определённое значение, описывается ψ- функцией, которое является решением уравнения: Qψ = Qψ, где Q – оператор физической величины Q Пример: p x ψ = p x ψ -iћψ/x = p x ψ ψ = Ce ikx (k = p x /ћ) – плоская волна де-Бройля свободной частицы (координатная часть)

Момент импульса Оператор проекции момента импульса L z = -iћ/φ Уравнение для нахождения собственных значений и собственных функций: L z ψ = L z ψ -iћψ/φ = L z ψ Решение: ψ = ψ 0 exp(iL z φ/ћ) Однозначность: ψ(φ + 2π) = ψ(φ) exp(2πL z /ћ) = 1 L z = mћ, |m| = 0, 1, 2, … Нормировка: ψψ*dφ = 1 ψ 0 = 1/(2π) 1/2 ψ = 1/(2π) 1/2 exp(imp) L z = mћ; m – магнитное квантовое число

Момент импульса = + + Сферическая симметрия: = = L 2 = 3 |L z | L m max = : m = -, -( - 1), …-2, -1, 0, 1, 2, …, - 1, количество значений m равно (2 + 1) штук. = 1/(2 + 1) Σ(ћm) 2 = ћ 2 /(2 + 1) Σm 2 = 1/3 ћ 2 ( + 1) {Σm 2 = 1/6 ( + 1)(2 + 1)} L 2 = ћ 2 ( + 1); - азимутальное квантовое число

Момент импульса L z = mћ; |m| = 0, 1, 2, … – магнитное квантовое число L 2 = ћ 2 ( + 1); = 0, 1, 2, … - азимутальное квантовое число

Квантовый ротатор E r = L 2 /2I = ћ 2 ( + 1)/2I – энергия вращательного движения квантуется. Квант вращательного движения: ΔE = ћ 2 ( + 1)/I (Правило отбора Δ = -1, +1)

Молекула водорода – квантовый ротатор Вращение «размораживается» при температуре kT ~ ΔE ~ ћ 2 /I T ~ ΔE/k ~ ћ 2 /Ik Момент инерции молекулы водорода: I = 2m p (d/2) 2 = m p d 2 /2 ; d ~ 1 A – межъядерное расстояние; m p = 1, г – масса протона. T ~ ћ 2 /Ik = 2ћ 2 / m p d 2 k = 2*(1,05* ) 2 /1,67* (10 -8 ) 2 1,38* ~ 100 K

Теплоёмкость водорода (эксперимент)

Гармонический осциллятор U = ½ mω 2 x 2 Уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора: 2 ψ/x 2 + 2m/ћ 2 (E – ½mω 2 x 2 )ψ = 0 E n = ½ mω 2 L n 2 L n = (2E n /mω 2 ) 1/2 λ = h/p = h/(2mE n ) 1/2 L n = nλ/2 (2E n /mω 2 ) 1/2 = nh/2(2mE n ) 1/2 E n = (2π/4) ћωn = C ћωn E n = Cћω n – в квантовом осцилляторе уровни эквидистанты!

Квантовый осциллятор

Принцип соответствия: В пределе больших квантовых чисел «квантовая система» превращается в «классическую». Классический электрон излучает с частотой движения ω кл = ΔE/ћ Δω кл = 1/ћ dE/dn = Cω С = 1

Квантовый осциллятор E n = (n + ½) ћω Энергия нулевых колебаний (n = 0): при n = 0 E 0 – соотношение неопределённостей: ΔpΔx ~ ћ Δp ~ p Δx ~ x p ~ ћ/2x U = ½ mω 2 x 2 ; K = p 2 /2m = ћ 2 /8mx 2 E = U + K U = K x 2 = ћ/2ω 2 m E min = 2U = ½ћω E 0 = ½ ћω – энергия нулевых колебаний Квантовый осциллятор: E n = (n + ½) ћω

Квантовый осциллятор

Квантовый осциллятор и теплоёмкость водорода Характерная энергия колебаний: ω кол ~ ω эл (m e /m p ) 1/2 E кол ~ E эл (m e /m p ) 1/2 ~ 10 эВ/(2000) 1/2 0,2 эВ Колебательные степени свободы «размораживаются» при температуре: T ~ E кол /k = 0,2 1, /1, ~ 2000 K

Энергия колебаний атомов в молекуле

Теплоёмкость водорода (эксперимент)

Кулоновский потенциал U = - e 2 /r Уравнение Шредингера для электрона в кулоновском поле: Δψ + 2m/ћ 2 (E + e 2 /r)ψ = 0 Квазиклассика: |E n | = e 2 /L n L n = e 2 /|E n | условие квантования: L n = nλ/2 e 2 /|E n | = nћ/2(2mE n ) 1/2 E n = Ce 4 m/n 2 ћ 2 Принцип соответствия: ω кл = ω ω = 1/ћ dE/dn = -2Ce 4 m/n 3 ћ 3 = -2E n /nћ ω кл 2 = e 2 /mr 3 = -8E n 3 /me 4 ω кл = ω E n = - me 4 /2n 2 ћ 2 – совпадает с точным решением

Кулоновский потенциал