Ребята, мы продолжаем изучать числовые функции. Темой сегодняшнего урока будут так же степенные функции, но уже не с натуральным показателем, а целым отрицательным. Степенная функция с целым отрицательным показателем имеет такой вид: Одну из функций мы прекрасно знаем – гипербола. Ребята вы помните график гиперболы? Постройте его сами.

Давайте посмотрим одну из функций подходящих нам и определим для нее свойства. Начнем исследование с четности. Вообще стоит заметить, что свойство четности значительно упрощает построение графиков функции, т.к. мы можем построить половинку графика и потом просто ее отразить. Область определения нашей функции – множество действительных чисел, кроме нуля, все мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя. Область определения симметричное множество, переходим к вычислению значения функции от отрицательного аргумента.

Наша функция четная. Значит, мы можем построить график при х 0, а потом его отразить относительно оси ординат. Ребята, предлагаю нам вместе в этот раз построить график функции. Сначала определим свойства нашей функции, а потом по ним построим график. Будем учитывать, что x>0. 1. Область определения D(y)=(0;+) 2. Функция убывающая. Проверим это. Пусть x1<x2. Подставим в функцию – так как мы делим на большее число, то получается, что сама функция в большем числе будет меньше, что и значит убывание. 3. Функция ограничена снизу. Очевидно, что, что и значит ограниченность снизу. Ограниченности сверху нет, так как если взять значение аргумента очень маленьким, близким к нулю, то значение функции будет стремиться к плюс бесконечности. 4. Наибольшего и наименьшего значения нет. Наибольшего значения нет, так как функция не ограничена сверху. Как же быть с наименьшим значением, ведь функция ограничена снизу. Что значит, что функция имеет наименьшее значение? Существует такая точка х 0, что для всех х из области определения f(x)f(x 0 ). Но наша функция убывающая на всей области определения, тогда существует такое число х 1 >x 0, но f(x 1 )<f(x 0 ). Получили противоречие, а значит наименьшего значения нет.

Построим график нашей функции по точкам. График нашей функции, очень похож на график гиперболы.

Воспользуемся свойством четности и отразим график относительно оси ординат. Напишем свойства нашей функции для всех значений х. 1) D(y)=(-;0)U(0;+). 2) Четная функция. 3) Возрастает на (-;0], убывает на [0;+). 4) Ограничена снизу, неограниченна сверху. 5) Наименьшего и наибольшего значения нет. 6) Функция непрерывна на открытых лучах (-;0)U(0;+). 7) Е(у)= (0;+). 8) Выпукла вниз на открытых лучах (-;0)U(0;+).

Давайте теперь рассмотрим нашу функцию в общем случае. Так же, как и на прошлом уроке, рассмотрим случай с четным показателем и нечетным. Функция вида. Функции такого вида похожи на ту функцию, что мы рассмотрели выше. Наша функция асимптотически приближается к осям координат. Чем больше степень, ты быстрее функция стремится вверх.

Функция вида – нечетная функция. Похожа на нашу функцию, только отражение происходит относительно начала координат. Общий вид графика представлен ниже: Свойства функции: 1) D(y)=(-;0)U(0;+). 2) Нечетная функция. 3) Убывает на (-;0)U(0;+). 4) Неограниченна. 5) Наименьшего и наибольшего значения нет. 6) Функция непрерывна на открытых лучах (-;0)U(0;+). 7) Е(у)= (-;0)U(0;+). 8) Выпукла вверх на (-;0), выпукла вниз на (0;+).

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке: [1;3]. Решение. Функция убывает на всей области определения, тогда своих наибольших и наименьших значений она достигает на концах отрезка. Наибольшее значение будет на левом конце отрезка, наименьшее на правом. Ответ: Наибольшее значение равно 1, наименьшее 1/27.

Пример. Построить график функции: Решение. График нашей функции получается из графика функции переносом его на две единицы влево и одну единицу вверх. Построим график:

. Задачи для самостоятельного решения. (Задания выполняйте в рабочих тетрадях, которые будут проверены и оценены). 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке: [0,5;2]. 2. Построить график функции: (а, б) (а)