Рахимова Гульназ МОБУ СОШ 4 9 А класс

1. Расширение теоретической базы, аналитический обзор литературы. 2. Изучение приёмов решения задач на инвариантность. 3. Развитие умений и навыков исследовательской работы при решении олимпиадных задач.

инвариант (от латинского invarians - неизменяющийся) - в математике - величина, остающаяся неизменяемой при тех или иных преобразованиях. Понятие инвариант употреблялось немецким математиком Отто Гессе ( ) еще в 1844 году.

Систематическое развитие теория инвариантов получила у английского математика Джеймса Сильвестра( ) в годы, предложившего и термин «Инвариант». В течение 2-й половины 19 века теория инвариантов была одной из наиболее разрабатываемых математических теорий. Концепция инварианта является одной из важнейших в математике, поскольку изучение инварианта непосредственно связано с олимпиадными задачами.

Полуинвариант – это то, что в некотором процессе изменяется в одну сторону (возрастает или убывает).

Сначала мы имеем 7 стаканов, которые стоят вверх дном и 0 стаканов, стоящих на дне. Мы можем перевернуть любые два стакана. Какие бы стаканы мы ни выбрали, у нас будет 5 стаканов вверх дном и 2 стакана, стоящих правильно

Кузнечик прыгает на 1 см, затем прыгает на 3 см в том же или противоположном направлении, затем в том же или противоположном направлении на 5 см и т.д. Может ли он после 57- го прыжка оказаться в исходной точке?

Решение: Что бы вернуться в изначальную точку кузнечик должен был попрыгать какое-то расстояние вправо (х) и такое же расстояние влево (х), следовательно, он должен был попрыгать расстояние равное 2 х, а это число четное. Он прыгнул нечетное количество раз, каждый раз на нечетное количество сантиметров, следовательно, он про прыгал нечетное количество сантиметров.

Задача 1. В квадрате 20 х 20 стоят 400 ненулевых чисел. Можно изменить знак у всех чисел, стоящих в одном столбце или в одной строке. Докажите, что за конечное число таких операций можно добиться того, что сумма чисел, стоящих в любой строке или в любом столбце, будет неотрицательной.

Решение. В качестве полуинварианта возьмем суммарное число пар врагов, которые находятся в одной палате. Разобьем парламент на две палаты произвольным образом. Рассмотрим одного парламентария. Пусть у этого парламентария в одной с ним палате не менее двух врагов. Тогда переместим этого парламентария во вторую палату. При этом общее число пар врагов лишь уменьшится. Поскольку это число целое неотрицательное, то оно может принимать только конечное число значений. Тем самым, за конечное число шагов мы получим требуемое разбиение парламентариев на две палаты.

Задача 6. На доске написаны 15 плюсов и 10 минусов. Разрешается стереть любые два знака и записать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус, если они различны. Какой знак останется на доске после выполнения 24 таких операций? Решение. Решение задачи становится очевидным, если каждый плюс заменить числом 1, а каждый минус числом -1. Тогда описанная в условии операция будет следующей: вместо любой пары чисел записываем их произведение. Ясно, что произведение всех чисел, написанных на доске, не изменяется. Исходно оно равно 1. Значит, после выполнения 24 указанных операций на доске будет написано число 1.

Литература 1. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985, стр.200–