1 МАГИСТЕРСКАЯ ПРОГРАММА «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЭКОЛОГИИ И ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИИ» Математические методы и модели в агроэкологии Лекция 2 Основы моделирования

2 1. Основные понятия Система – (от греч. systema – целое, составленное из частей; соединение) совокупность закономерно связанных между собой элементов (предметов, явлений, взглядов, знаний и т.п.), находящихся в отношениях друг с другом и составляющих определенное целостное образование, единство. Система – объект любой природы либо совокупность взаимодействующих объектов любой, в том числе различной природы, обладающий выраженным «системным» свойством (свойствами), т.е. свойством, которого не имеет ни одна из частей системы при любом способе членения и не выводимым из свойств частей. Система – любой реальный или мыслимый объект, целостные свойства которого могут быть представлены как результат взаимодействия образующих его частей. Среда есть окружение, с которым система взаимодействует. Структура системы (лат. structura – строение, порядок связи) – это совокупность устойчивых связей между элементами системы, которые обеспечивают целостность системы и тождественность самой себе. Сложная система – это составной объект, части которого можно рассматривать как системы, закономерно объединенные в единое целое в соответствии с определенными принципами или связанные между собой заданными отношениями. 2

3 Структурная схема системы –6 – подсистемы старших рангов; 6.1–6.3 – подсистемы младших рангов

4 Система-оригинал Модельная система Модель – (от лат. modulus – мера, аналог, образец) условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса, системы), который создается для более глубокого изучения действительности. Основные понятия

5 Математическая модель – система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему. Моделирование – исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов – физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов (для определения, уточнения их характеристик, рационализации способов их построения и т.п.). Метод исследования, базирующийся на разработке и исследовании математических моделей, называется математическим моделированием. 5

6 2. Математическое моделирование сложных систем Основным методом исследования сложных систем, наиболее эффективным, является математическое моделирование. Математическая модель в общем смысле является множеством символических математических объектов и отношений между ними. Для моделирования сложной системы необходимо формализовать процессы ее функционирования, т.е. представить эти процессы в виде последовательности четко определяемых событий, явлений или процедур, и затем построить математическое описание сложной системы. Рассмотрим процесс формализации (перевода на математический язык) функционирования некоторой системы.

7 2. Математическое моделирование сложных систем

8

9

10 2. Математическое моделирование сложных систем

11 Математической моделью системы-оригинала 0 = 0 называется ее модель = в которой в качестве элементов множеств S и X выступают математические переменные (обычно скалярные функции времени t) на рассматриваемом интервале: Структура представляет собой множество математических соотношений между этими переменными, которые обычно формулируются в виде уравнений и неравенств вида: (1) связывающих между собой внешние и внутренние переменные модели. Функция есть не что иное, как разрешающий оператор совокупности математических соотношений (1), позволяющих по заданным входам ;, с той или иной определенностью находить функции на интервале : (2) удовлетворяющие уравнениям и неравенствам (1) и заданным начальным условиям 11

12 Модель – (от лат. modulus – мера, аналог, образец) условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса, системы), который создается для более глубокого изучения действительности. Математическая модель – система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему. Моделирование – исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов – физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов (для определения, уточнения их характеристик, рационализации способов их построения и т.п.). 12

13 Модель – (от лат. modulus – мера, аналог, образец) условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса, системы), который создается для более глубокого изучения действительности. Математическая модель – система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему. Моделирование – исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов – физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов (для определения, уточнения их характеристик, рационализации способов их построения и т.п.). 13