Метод математической индукции.

Дедуктивный и индуктивный метод В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Полная и неполная индукция Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4n20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. Каждое из интересующих нас чисел представляется в виде суммы двух простых слагаемых. Полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция). Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи.

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n. Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение: 1. проверяют сначала его справедливость для n=1. 2.предполагают, что при любом натуральном значении k утверждение справедливо. 3. доказывают справедливость утверждения при n=k тогда утверждение считается доказанным для всех n.

Есть три стержня и колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Можно ли переместить пирамидку с одного стержня на другой?

Докажите, что любые n прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в точках.

» 1. [БАЗА]Проверим, работает ли эта формула при n=1: » 2.[ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ] Предположим, что тождество верно при n=k, то есть » 3.[ШАГ] Шаг индукции будет соответствовать проверке этого тождества при n=k+1, то есть нужно доказать, что » 4.[ВЫВОД] Тождество верно для любого.

Задача 1. Докажите, что сумма углов выпуклого n-угольника равна В частности, для треугольника получаем а для четырехугольника Задача 2. Доказать, что при любом n справедливо утверждение: …+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6. Задача 3. Доказать, что 3 3n n-3 при произвольном натуральном n делится на 11..