С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции. а) а) б) б) 2. Исследуйте функцию у=f(x) на максимум и минимум. а) а) б) б) 3. Найти все значения а, при которых для всех действительных значений х, если

Использование второй производной для исследования функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции Использование второй производной для исследования функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции

Дана функция у = f (x) На интервале (а, b) функция у = f (x) непрерывна и дифференцируема, причем f '(x) >0 При построении эскиза графика функции у = f (x) интервале (а, b) возможны несколько случаев. Чем отличается поведение графика каждой функции на интервале? а b у

В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия: выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функции

Выпуклая вверх (выпуклая кривая) выпуклой вверх Кривая называется выпуклой вверх в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной у а х

Выпуклая вниз (вогнутая кривая) Кривая называется выпуклой вниз в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной у а х

Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая) у 0 a b х

Кривая выпуклая вниз на интервале (вогнутая) у 0 a b х

График функции у = f (х) – вогнутая кривая Величина углов α1, α2, α3… растет, увеличиваются и тангенсы этих углов. Если функция возрастает, то ее производная положительна. Производная функции f(х) – это производная производной (f (х)) = f (х) и f (х) >0 В трех точках проведем касательные α 1 < α 2 < α 3 < …

α1α1 График функции у = f (х) – выпуклая кривая tgα = f(х), следовательно, убывает функция f(х) В двух точках проведем касательные, производная функции y = f (х) (f (х)) = f (х) - отрицательна, т.е. f (х) < 0 α1 > α2 > α3 > … тангенсы углов α1, α2, α3… убывают Вывод: Если график функции – выпуклая кривая, то вторая производная этой функции – отрицательна.

ЗАПОМНИ!!! Если вторая производная функции у = f (х) на данном интервале положительна, то кривая вогнута а если отрицательна – выпукла на данном интервале

Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба

Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции: Найти: 1. Вторую производную 2. Точки, в которых она равна нулю или не существует 3. Интервалы, на которые область определения разбивается этими точками 4. Знаки второй производной в каждом интервале Если f '(х) < 0, то кривая выпукла, если f '(х) > 0 – вогнута.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба Вариант 1 у = х³ - 12 х + 4 Вариант 2 у = ¼ х 4 – 3/2 х²

Проверка Вариант 1 у = х³ - 12 х + 4 х – любое число f'(х) = 3 х² - 12 f''(х) = 6 х 6 х = 0 х = 0 Интервалы выпуклости: (-, 0) Интервалы вогнутости: (0, +) - + f 0 f х = 0 – точка перегиба

Проверка Вариант 2 у = ¼ х 4 – 3/2 х² х – любое число f'(х) = х³ - 3 х f''(х) = 3 х² - 3 = 3(х – 1)(х + 1) х = 1 х = -1 Интервалы выпуклости: (-1, 1) Интервалы вогнутости: (-, -1) и (1, +) f f х = 1 и х = -1 – точки перегиба

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Решение упражнений с (а, б), 791 (б) ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ §20 786, 788