Лекция 10 Вращение твердого тела 10/04/2012 Алексей Викторович Гуденко

План лекции Уравнение движения и равновесия твёрдого тела. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении. Применение законов динамики твёрдого тела: скатывание тел с наклонной плоскости, маятник Максвелла. Гироскопы

Виды движения твёрдого тела. Поступательное движение. Абсолютно твёрдое тело – это тело, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь Поступательное движение – это такое движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. Все точки тела при этом имеют одинаковую скорость и описывают одинаковые траектории, смещённые по отношению друг к другу. Примеры поступательного движения: 1. стрелка компаса, при перемещении компаса в горизонтальной плоскости; 2. кабина на колесе обозрения

Вращательное движение твёрдого тела. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на в плоскости, перпендикулярной оси вращения (ось вращения может находиться и вне тела). Угловые скорости всех точек ω одинаковы. ω направлена вдоль оси вращения в соответствие с правилом буравчика. Линейные скорости точек: v = ω х r, где r – радиус-вектор, проведённый из любой точки оси.

Плоское движение твёрдого тела Любое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного и вращательного движений. При плоском движении все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Пример плоского движения – качение цилиндра. Скорость каждой точки цилиндра: v = v 0 + ωxr (v 0 – скорость оси)

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси L z = Σr i m i v i = ωΣm i r i 2 = I z ω I z = Σm i r i 2 = r 2 dm – момент инерции твёрдого тела относительно оси z. M z – z-проекция момента внешних сил Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси L z dω/dt = M z

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента сил Кинетическая энергия вращающегося тела K = Σm i v i 2 /2 = ½Σm i (ωr i ) 2 = I z ω 2 /2 = L z 2 /2I = ½ L z ω. В общем случае K = ½ (Lω) Работа внешней силы при повороте: dA = (Fds) = Frdφ = M z dφ

Плоское движение твёрдого тела Плоское движение есть суперпозиция движения центра масс и вращательного в системе центра масс Движение центра масс определяется внешними силами по закону Ньютона. Вращательное движение определяется моментом внешних сил

Свойства момента инерции Момент инерции – скалярная аддитивная величина. Теорема Гюйгенса – Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I C относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния a до центра масс: I = I c + ma 2 Доказательство: по теореме Кёнига для кинетической энергии: K = Iω 2 /2 = mv c 2 /2 + I c ω 2 /2 = m(ωa) 2 /2 + I c ω 2 /2 = ½ (ma 2 + I c )ω 2 I = I c + ma 2

Теорема о взаимно перпендикулярных осях Момент инерции плоского тела относительно произвольной оси z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов относительно двух взаимно перпендикулярных осей x и y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью z: I z = I x + I y

Моменты инерции различных тел Тонкий обруч, полый цилиндр (относительно оси симметрии): I = mr 2 Диск: I = ½ mr 2 Тонкий длинный стержень: I = 1/12 mL 2 – относительно середины; I = 1/3 mL 2 - относительно конца Плоский прямоугольник (параллелепипед): I = 1/12 m(a 2 + b 2 ) Сфера: I = 2/3 mr 2 Шар: I = 2/5 mr 2 Толстый цилиндр: I = ½ m(r 2 + R 2 )

Скатывание с наклонной плоскости С каким ускорением скатывается цилиндр (круглое тело) с наклонной плоскости. Решение: уравнение моментов относительно мгновенной оси: I A dω/dt = M A I A a = M A r a = mgr 2 sinα/I A = gsinα/(1 + I c /mr 2 ) Труба: a = ½gsinα Сплошной цилиндр: a = 2/3 gsinα Полый шар: a = 3/5 gsinα Сплошной шар: a = 5/7 gsinα

Диск Максвелла R = 10 см; r = 0,5 см. С каким ускорением опускается диск. Решение: I A dω/dt =M A I A dωr/dt =M A r I A dv 0 /dt =M A r a = mgr 2 /I A = g/(1 + R 2 /2r 2 ) g/200 5 см/с 2

Свободные оси. Главные оси. Ось вращения, направление которой в пространстве остаётся неизменным без действия на неё внешних сил, называется свободной осью. Главные оси - три свободных взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс. При вращении вокруг главной оси L 1 = Iω 1 Для произвольной оси: L = I 1 ω 1 + I 2 ω 2 + I 3 ω 3 Все оси симметрии твёрдого тела являются главными осями инерции.

Особенности вращения шаровых, симметричных и асимметричных волчков. Главными называются моменты инерции относительно главных осей. Шаровой волчок: I 1 = I 2 = I 3. Любая ось, проходящая через центр масс – свободная (шар, куб) I 1 = I 2 I 3 – симметричный волчок (диск, стержень) – при внешнем воздействии устойчиво вращается вокруг оси с наибольшим I I 1 I 2 I 3 - асимметричный волчок (параллелепипед) – устойчиво вращается вокруг осей с I max и I min I = I 1 cos 2 α + I 2 cos 2 β + I 3 cos 2 γ - момент инерции относительно произвольной оси.

Гироскоп Гироскоп – твёрдое тело, быстро вращающееся относительно оси симметрии. Гироскопическое приближение: L = I 0 ω или скорость прецессии Ω << ω. Уравновешенный гироскоп (M = 0) сохраняет своё направление в пространстве. Вынужденная прецессия: M 0 dL = Mdt Lsingdφ = mga sing dt скорость прецессии Ω = dφ/dt = mga/I 0 ω – не зависит от угла наклона оси гироскопа.

Применение гироскопов В морской и авиа навигации: гирогоризонт, гирокомпас – гироскоп в кардановом подвесе сохраняет своё направление. Стабилизация артиллеристского снаряда (в нарезном орудии) – вращающийся снаряд не кувыркается.

Условие равновесие твёрдого тела Тело будет оставаться в покое, если: 1. Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю: F = ΣF i = 0 2. Суммарный момент сил относительно любой точки равен нулю: M = ΣM i = 0

Вращение твёрдого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела. Поступательное движение v – линейная скорость a = dv/dt – линейное ускорение m – масса p = mv – импульс F - сила dp/dt = ma = mdv/dt = F K = mv 2 /2 = p 2 /2m dA = Fds Вращательное движение ω – угловая скорость ε = dω/dt – угловое ускорение I – момент инерции L z = Iω z – момент импульса M – момент силы dL/dt = Iε = Idω/dt = M K = Iω 2 /2 = L z 2 /2I dA = Mdφ