Уравнения Ричардсона и энергия связи куперовской пары В. В. Погосов, Институт теоретической и прикладной электродинамики РАН, Москва M. Combescot, Institut des NanoSciences de Paris, Universite Pierre et Marie Curie & CNRS, Paris W. V. Pogosov, M. Combescot, and M. Crouzeix, PRB 81, (2010); W. V. Pogosov, M. Combescot, Письма в ЖЭТФ 92, 534 (2010).

Мотивация/Введение Решение уравнений Ричардсона в разреженном пределе Обобщение теории БКШ Выводы План

Мотивация/Введение Проблема перехода БЭК-БКШ (ультрахолодные газы, ВТСП, экситоны) -Предел локальных пар поверхность Ферми размыта - Предел БКШ плотность пар очень велика, есть поверхность Ферми - Как описать переход? Проблема осуждалась еще Шриффером в связи с переходом от двух частичной модели Купера к многочастичной модели БКШ. Ω c 2ω = Ω ? переход

Предыдущие работы по density-induced кроссоверу Модель Иглса (1969): «сверхпроводящие полупроводники» Обобщение формализма БКШ - Уравнение на «щель» - Уравнение на химический потенциал Адекватное описание обоих пределов См. также: N. Andrenacci et al. (1999). A. Leggett (1980): ферми-газы – кроссовер за счет изменения силы притяжения

Задача Купера и теория БКШ: ключевые моменты Задача Купера Уравнение Шрёдингера: Уравнение на собственные значения: Энергия связи пары: Ω !

БКШ Энергия сверхпроводящего состояния: Сверхпроводящая щель: Утверждение Шриффера: пары перекрыты так сильно, что концепция изолированной пары не имеет смысла (has a little meaning) - вводятся «виртуальные» пары с энергией = щели - сконцентрированы вблизи поверхности Ферми - отличаются от «сверхтекучих» пар из волновой функции БКШ - их число гораздо меньше числа пар в слое - вводятся не ab initio, а для понимания результата, «руками» В настоящее время под куперовскими парами в БКШ обычно понимаются как раз виртуальные пары (см., например, Walecka- Fetter) c 2ω = Ω !

Мотивация: - Установить возможную связь между «куперовскими парами» в обоих пределах - Попытаться описать переход, выходя за рамки обобщенной теории БКШ Альтернативное представление : c 2ω = Ω

На примере двух пар Подход Ричардсона Ω Мысленный эксперимент: начнем добавлять пары в слой, пока он не заполнится наполовину R.W. Richardson (1963) Волновая функция основного состояния:

используется тождество (расцепление): Уравнения Ричардсона для двух пар

Уравнения Ричардсона для трех пар - неявная зависимость от N ! - многочастичная классическая задача, (имеется электростатическая аналогия)

Решение уравнений с помощью разложения Разложение сумм в разреженном пределе где Вводим безразмерную переменную:

Приведенные уравнения Ричардсона для двух пар: малый параметр В первом приближении по : (невзаимодействующие пары)

Следующий порядок по : Энергия основного состояния: …переписываем: добавление 1-ой пары «выедание» энергии связи пары (аналогично экситонам)

Три пары В первом приближении: Во втором приближении: и т.д. для большего количества пар

Четное число пар (общий случай) I. В первом приближении Уравнения Ричардсона: умножаем на a i и складываем II. Во втором приближении (сумма уравнений Ричардсона):

Энергия основного состояния Уменьшение энергии связи пары из-за принципа Паули Полное совпадение с результатами БКШ при экстраполяции в «полу заполненную» конфигурацию!

Second order term in the expansion still in N(N-1) so that it vanishes in the large sample limit M. Crouzeix & M. Combescot (unpublished) Similar to Frenkel excitons same one-to-one coupling …

Конфигурация с несимметричным расположением слоя с притяжением (произвольное число пар в слое) Обобщение БКШ c 2ω = Ω

Уравнение на щель

Вычисление энергии конденсации Совпадение с результатами решения уравнений Ричардсона (N >> 1)

Подход можно обобщить и на «разреженный» предел Добавляется уравнение на хим потенциал: Выражения для энергии основного состояния и сохраняются, но меняется смысл энергия возбужденного состояния: слабая сингулярность

Спектр возбуждений из уравнений Ричардсона - разрыв пары означает блокировку двух состояний («соловьевская блокировка»), что ведет к модификации энергии оставшихся пар Начальное состояние: N пар Конечное состояние: (N - 1) пара + 1 неспаренный электрон Уравнения Ричардсона:

Разреженный предел: Разница энергий: - конкуренция между кинетической энергией «дефекта» и изменением энергий оставшихся пар! (!) щель типа БКШ

На самом деле, должно выполняться неравенство: -Если не выполняется: Итак, - в разреженном пределе выгодно поместить «дефект» как можно ниже. Энергия возбуждения контролируется энергией связи пары. - в плотном пределе выгодно поместить «дефект» повыше. Появляется щель типа БКШ. Поведение системы становится коллективным. Щель типа БКШ – это многочастичный отклик системы.

- Предложена интерпретация результатов теории БКШ в терминах «сверхтекучих», а не «виртуальных» пар. Преимуществом этого представления является простая связь между разреженным и плотным режимами. - Предложен новый метод аналитического решения уравнений Ричардсона в разреженном пределе пар. Несмотря на это ограничение, полученное выражение для энергии основного состояния совпадает с результатом теории БКШ в плотном режиме. Выводы

Волновая функция БКШ Проекция на состояние с фиксированным N амплитуда вероятности того, что два состояния заняты = произведению амплитуд вероятностей для индивидуальных пар.

«патроны»

Двухчастичная корреляционная функция: разложение: в разреженном пределе: обычные волновые функции пары. Обобщим на произвольный случай. «аномальная» корреляционная функция:

энергия основного состояния + квазичастицы + их взаимодействие