СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ : ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ; МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ; ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Лекции: Кориков Анатолий Михайлович Пр. занятия: Ефремов Александр Александрович Томск, 2015

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Литература: Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразозвания и операционное исчисление.- М, Физматгиз, Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразозвания и операционное исчисление.- М, Физматгиз, Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Изд-во Моск. ун-та, Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Изд-во Моск. ун-та, Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. 2-е изд, стереотипип.. М: ФИЗМАТЛИТ, Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. 2-е изд, стереотипип.. М: ФИЗМАТЛИТ, Кориков А.М. Основы теории управления: 2-е изд. – Томск: Изд-во НТЛ, Кориков А.М. Основы теории управления: 2-е изд. – Томск: Изд-во НТЛ, 2002.

Интегральные преобразозвания Метод интегральных преобразований – мощное средство решения дифференциальных, интегральных и интегро - дифференциальных уравнений. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро - дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразозвания задаются формулой: где функции f, Tf называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства L, при этом функция K называется ядром интегрального преобразозвания. Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием: Свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.линейным оператором

Линейные интегральные уравнения Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно : (1) где искомая функция, K(x,s), f(x) известные функции, параметр. Функция K(x,s) называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения (1) можно разделить еще на несколько видов.

Уравнения Фредгольма 2-го рода Пределы интегрирозвания могут быть как конечными, так и бесконечными. Ядро K(x,s) и f(x) либо непрерывны, либо удовлетворяют условиям

Уравнения Фредгольма 1-го рода Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла : при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

Уравнения Вольтерра Уравнения Вольтерра отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирозвания в них является переменным:

Нелинейные интегральные уравнения Многообразие нелинейных уравнений велико, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Укажем некоторые типы таких уравнений, имеющие большое теоретическое и прикладное значение: 1. Уравнение Урысона 2. Уравнение Гаммерштейна

Нелинейные интегральные уравнения (продолжение) 3. Уравнение Ляпунова Лихтенштейна 4. Нелинейное уравнение Вольтерра

Формулы обращения Фурье Задача состоит в нахождении неизвестной функции f(y) по известной функции g(x) Решение её получил Фурье в 1811 г.

Примеры

Пример К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра приводит задача Коши для ОДУ Это уравнение можно проинтегрировать по t от a до t: Решение начальной задачи для ОДУ приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерра 2-го рода.

ЭЛЕМЕНТЫ ТФКП Приложение 1 (с ) из [Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969]. 1. Комплексные числа. Функции и пределы. 2. Ряды с комплексными членами. Некоторые элемент. функции. Теорема 1 (Абеля).Если ряд сходится при z=z 0, то он сходится при всяком z таком, что |z-a|<|z 0 -a|.

функции 3. Производная. Аналитические функции Теорема 2. Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была дифференцируемой в некоторой точке z=x+iy, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия: 1. Функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы в точке (x,y). 2. В этой точке выполняются условия Коши-Римана

функции комплексного переменного. Основная т 4. Интеграл функции комплексного переменного. Основная теорема Коши

Теорема 3 (Коши). функции Если функция f(z) аналитическая в односвязной области G, то интеграл от функции f(z) по всякому замкнутому контуру Г, целиком лежащему в области G, равен нулю.

Обобщение т Обобщение теоремы Коши Теорема 4. Если функция f(z) аналитическая всюду внутри многосвязной области G и на её границе, то интеграл по границе области равен нулю, в предположении, что граница области G обходится по следующему правилу: положительным направлением при движении по границе считается такое направление, при котором часть области, непосредственно примыкающая к границе, находится слева. Следствие. Если замкнутый контур лежит внутри замкнутого контура Г, а функция f(z) аналитическая между этими контурами и на них, то

формула функций 5. Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши и производные от аналитических функций Теорема 5. Если функция f(z) аналитическая внутри односвязной области G и на её границе Г, а z – внутренняя точка области G, то Формула формулой Формула (5.1) называется интегральной формулой Коши.

Теорема 6. Если функция f(z) аналитическая внутри области G и на её границе Г, а z – внутренняя точка области G, то f(z) имеет производные всех порядков в области G и производная порядка n в точке z может быть вычислена по формуле

функций. 6. Ряды аналитических функций. Ряды Тейлора и Лорана. Особые точки Теорема 7. Если ряд сходится равномерно на кусочно-гладкой дуге L, а члены этого ряда непрерывные на L функции, то сумма ряда будет непрерывной на L функцией и ряд этот можно интегрировать почленное:

Теорема 8 (Вейерштрасса). Если члены ряда (6.2) являются аналитическими функциями в области G и ряд (6.2) сходится равномерно на всякой области G*, целиком лежащей в области G, то 1. Сумма ряда (6.2) является аналитической функцией в области G. 2. Ряд, составленный из производных членов ряда (6.2), также будет сходиться равномерно на всякой области G*, целиком лежащей внутри области G, к производной от суммы ряда (6.2).

Из теоремы 1 следует, что этот ряд сходится равномерно на всяком круге Если f(z) аналитическая в круге функция, то она может быть разложена в степенной ряд вида (6.3), причем радиус сходимости этого ряда будет не меньше чем R. Пусть z – произвольная точка внутри круга С – окружность

y x z Г 0

Теорема 9 (Сохоцкого). Если z 0 – существенно особая точка функции f(z), то каково бы ни было комплексное число w, существует такая последовательность точек z n, стремящаяся к z 0, что Lim f(z)=w n Теорема 10. Если функция f(z) имеет в точке z 0 нуль порядка m, то функция 1/f(z) имеет в точке z 0 полюс порядка m.

7. Вычеты. Логарифмический вычет и принцип аргумента

Теорема 11. Пусть функция f(z) аналитическая на замкнутом контуре Г и всюду внутри этого контура, за исключением конечного числа изолированных особых точек Тогда

Теорема 12. Если функция f(z) аналитична на замкнутом контуре Г и не обращается на этом контуре в нуль, а внутри контура Г имеет конечное число полюсов и нулей, то число оборотов вектора w=f(z) вокруг начала координат, когда z пробегает контур Г в положительном направлении, равно разности между суммой кратностей всех нулей и суммой кратностей всех полюсов функции f(z) внутри контура Г Q=M-N (7.4)

Операционное исчисление Приложение 2 (с ) из [Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969].

Преобразование Лапласа

;; Наименование ОригиналИзображение Лапласа Свойство линейности Теорема подобия Теорема запаздызвания Теорема смещения в комплексной плоскости Правило дифф-звания при нулевых н. у. Теорема о конечном значении

Теорема запаздызвания (смещения) f f(t-a) a 0 t f 0 t f(t)

Теорема об установившемся (конечном) значении

Теорема о начальном значении

Теорема свертки

Правила дифференцирозвания в общем случае

Пример: решение дифференциального уравнения

Теорема разложения

Вторая теорема разложения Пусть F(p) является изображением оригинала f(t) и выполнены следующие условия: 1. Существует такая последовательность дуг окружностей таких, что 2. В каждой области, ограниченной соседними дугами и отрезками прямой Re p = a, содержится конечное число полюсов функции F(p). Тогда

Вторая теорема разложения ( продолжение )

Следствие. Если все особые точки функции F(p) – полюсы и кратность полюса k=1,2, …, m, то

Преобразование Лорана (z – преобразование)

Оригинал-преобразование Оригиналz-преобразование

Характеристические функции Пусть X – случайная величина с распределением F. Характеристической функцией распределения F ( или случайной величины X ) называется функция определенная для действительных формулой Для распределения F с плотностью f имеем