Физические основы механики Сегодня воскресенье, 17 января 2016 г.

Тема 8. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (СТО) 8.1. Принцип относительности Галилея. Закон сложения скоростей 8.1. Принцип относительности Галилея. Закон сложения скоростей 8.2. Постулаты Эйнштейна 8.3. Преобразования Лоренца 8.4. Следствия из преобразований Лоренца 8.4. Следствия из преобразований Лоренца 8.5. Релятивистская механика 8.6. Взаимосвязь массы и энергии покоя

8.1. Принцип относительности Галилея. При изложении механики предполагалось, что все скорости движения тел значительно меньше скорости света. Причина этого в том, что механика Ньютона (классическая) неверна, при скоростях движения тел, близких к скорости света Правильная теория для этого случая, называется релятивистской механикой или специальной теорией относительности

Механика Ньютона оказалась замечательным приближением к релятивистской механике, справедливым в области Большинство встречающихся в повседневной жизни скоростей значительно меньше скорости света. Но существуют явления, где это не так (ядерная физика, электромагнетизм, фотоэффект, астрономия ). По классической механике: механические явления происходят одинаково в двух системах отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета k и k'. Система k' движется относительно k со скоростью вдоль оси x. Точка М движется в двух системах отсчета: Рисунок 8.1

Найдем связь между координатами точки M в обеих системах отсчета. Отсчет начнем, когда начала координат систем – совпадают, то есть Тогда: (8.1.1) Это т.н. преобразования Галилея.

В уравнениях (8.1.1) время – т. е. в классической механике предполагалось, что время течет одинаково в обеих системах отсчета независимо от скорости. «Существует абсолютное время, которое течет всегда одинаково и равномерно», – говорил И. Ньютон. В векторной форме преобразования Галилея можно записать так: (8.1.2)

Продифференцируем это выражение по времени, получим: закон сложения скоростей в классической механике: или, (8.1.3) Скорость движения точки М (сигнала) в системе k' и в системе k различны.

Преобразования Галилея Таким образом видим, что для однозначного определения кинематических параметров, описывающих движение материальной точки относительно СО K, по измерениям, проведенным в СО K', необходимо знать связь моментов времени t и ии и t 0 В классической механике проблема взаимосвязи моментов времени в различных СО решается постулатом Галилея Моменты времени в различных Моменты времени в различных СОсовпадают с точность до постоянной величины, определяемой процедурой синхронизации часов Обычно считают часы синхронизированными таким образом, что const = 0, то есть При таком способе синхронизации Из последнего уравнения несложно получить связь ускорений в произвольных СО где a o - ускорение системы K 0 относительно системы K Эти называют преобразованиями Галилея для произвольных Эти уравнения называют преобразованиями Галилея для произвольных СО

Законы природы, определяющие изменение состояния движения механических систем не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем отсчета они относятся. Это принцип относительности Галилея.

Из преобразований Галилея и принципа относительности следует, что взаимодействия в классической физике должны передаваться с бесконечно большой скоростью В противном случае можно было бы одну инерциальную систему отсчета отличить от другой по характеру протекания в них физических процессов. Принцип относительности Галилея и законы Ньютона подтверждались ежечасно при рассмотрении любого движения, и господствовали в физике более 200 лет.

В 1865 г. появилась теория Дж. Максвелла, и уравнения Максвелла не подчинялись преобразованиям Галилея. Ее мало кто принял сразу, она не получила признания при жизни Максвелла. Но вскоре все сильно изменилось, когда в 1887 г. после открытия электромагнитных волн Герцем, были подтверждены все следствия, вытекающие из теории Максвелла – ее признали. Появилось множество работ, развивающих теорию Максвелла.

Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – величайший английский физик. Его работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям. Самым большим достижением Максвелла является теория электромагнитного поля, которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений, выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений.

В теории Максвелла, скорость света (скорость распространения электромагнитных волн), конечна и равна А в теории Галилея скорость передачи сигнала бесконечна и зависит от системы отсчета Первые догадки о конечности распространения скорости света, были высказаны еще Галилеем. Астроном Рёмер в 1676 г. пытался найти скорость света. По его приближенным расчетам, она была равна

Нужна была экспериментальная проверка теории Максвелла. Он сам предложил идею опыта – использовать Землю в качестве движущейся системы (Известно, что скорость движения Земли В 1881 г. были выполнены опыты, которые доказали независимость скорости света от скорости источника или наблюдателя. Необходимый для опыта прибор изобрел блестящий военно-морской офицер США – А. Майкельсон

Майкельсон Альберт Абрахам (1852 – 1931) – американский физик. Основные работы в области оптики, спектроскопии. Изобрел интерферометр (интерферометр Майкельсона), сыгравший значительную роль в обосновании специальной теории относительности и в изучении спектральных линий. Осуществил серию экспериментов по точному определению скорости света. Президент Американского физического общества. Член АН СССР. Лауреат Нобелевской премии в 1907

Интерферометр Майкельсона Рисунок 8.3

Вследствие сравнительно большой скорости движения Земли, свет должен был иметь различные скорости по вертикальному и горизонтальному направлениям. Поэтому время, затрачиваемое светом на прохождение путей: источник S – полупрозрачное зеркало (ппз) – зеркало (з 1) – ппз и источник – ппз – (зеркало) з 2 – ппз должно быть различным.

В результате, световые волны, пройдя указанные пути, должны были изменить интерференционную картину на экране. Майкельсон проводил эксперименты в течение семи лет с 1881 г. в Берлине и с 1887 г. в США совместно с химиком, профессором Морли. Точность первых опытов была невелика Однако, опыт дал отрицательный результат: сдвиг интерференционной картины обнаружить не удалось. Таким образом, результаты опытов Майкельсона - Морли показали, что величина скорости света постоянна и не зависит от движения источника и наблюдателя.

Эти опыты повторяли и перепроверяли многократно. В конце 60-ых годов Ч. Таунс довел точность измерения до 1 м/с. Скорость света осталась неизменной Независимость скорости света от движения источника и от направления недавно была продемон- стрирована с рекордной точностью в экспериментах, выполненных исследователями из университетов г. Констанц и г. Дюссельдорф в которых установлена лучшая на сегодняшний день точность

Эта точность в 3 раза выше достигнутой ранее. Исследовалась стоячая электромагнитная волна в полости кристалла сапфира, охлажденного жидким гелием. Два таких резонатора были ориентированы под прямым углом друг к другу. Вся установка могла вращаться, что позволило установить независимость скорости света от направления.

Было много попыток объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона- Морли. Наиболее известна гипотеза Лоренца о сокращении размеров тел в направлении движения. Он даже вычислил эти сокращения, использовав для этого преобразование координат, которые так и называются «сокращения Лоренца-Фитцджеральда». Дж. Лармор в 1889 г. доказал, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца. Очень близок был к созданию теории относительности Анри Пуанкаре. Но Альберт Эйнштейн был первым, кто четко и ясно сформулировал основные идеи теории относительности.

Х.Лоренц Г. Минковский А.Эйнштейн

8.2. Принцип относительности Эйнштейна В 1905 г. в журнале «Анналы физики» вышла знаменитая статья А. Эйнштейна «К электродинамике движущихся тел», в которой была изложена специальная теория относительности (СТО). Потом было много статей и книг, поясняющих, разъясняющих, интерпретирующих эту теорию.

Принцип относительности Эйнштейна представляет собой фундаментальный физический закон, согласно которому любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе находящейся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Иначе говоря, законы физики имеют одинаковую форму (инвариантны) во всех инерциальных системах отсчета.

Инвариантность – неизменность вида уравнения при переходе из одной системы отсчета в другую (при замене координат и времени одной системы – другими). 2. Скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости источника и приемника света. Все как-то пытались объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона-Морли, а Эйнштейн – постулировал это, как закон. В основе СТО лежат два постулата Эйнштейна 1. Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

В первом постулате главное, что время тоже относительно – такой же параметр, как и скорость, импульс, и т.д. Второй – возводит отрицательный результат опыта Майкельсона-Морли – в ранг закона природы: Специальная теория относительности представляет физическую теорию, изучающую пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов, когда можно пренебречь действием тяготения.

8.3. Преобразования Лоренца Формулы преобразования при переходе из одной инерциальной системы в другую с учетом постулатов Эйнштейна предложил Лоренц в 1904 г. Лоренц Хендрик Антон (1853 – 1928) – нидерландский физик-теоретик, создатель классической электронной теории на основе электро- магнитной теории Максвелла-Герца.

Его работы посвящены термодинамике, электродинамике, статической динамике, оптике, теории излучения, атомной физике. Вывел формулу, связывающую диэлектрическую проницаемость с плотностью диэлектрика (формула Лоренца -Лоренца), дал выражение для силы, действующей на движущийся заряд в электромагнитном поле (сила Лоренца), развил теорию дисперсии света. Разработал электродинамику движущихся тел (преобразования Лоренца). Член многих академий наук, в том числе и АН СССР, лауреат Нобелевской премии.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета (неподвижную и подвижную) k и k'. Пусть x, y, z, t координаты и время некоторого события в системе k, а x', y', z', t' координаты и время того же события в k'.

Как связаны между собой эти координаты и время? В рамках классической теории при эта связь устанавливается преобразованиями Галилея, в основе которых лежат представления об абсолютном пространстве и независимом времени: Из этих преобразований следует, что взаимодействия, в том числе и электромагнит- ные, должны передаваться с бесконечно большой скоростью и, скорость движения сигнала в системе k, отличается от скорости в системе k':

Лоренц установил связь между координатами и временем события в системах отсчета k и k' основываясь на постулатах СТО:

- все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны; - скорость света в вакууме постоянна и конечна, во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника и наблюдателя. Таким образом, при больших скоростях движения сравнимых со скоростью света, Лоренц получил

где Преобразования Лоренца.

Истинный физический смысл преобразований Лоренца был впервые установлен Эйнштейном в 1905 г. в СТО. В теории относительности время иногда называют четвертым измерением. Точнее говоря, величина ct, имеющая ту же размерность, что и x, y, z ведет себя как четвертая пространственная координата. В теории относительности ct и x проявляют себя с математической точки зрения сходным образом.

Полученные уравнения связывают координаты и время в подвижной k' и неподвижной k системах отсчета. Отличие состоит только в знаке скорости υ, что и следовало ожидать, поскольку система k' движется относительно k слева направо со скоростью υ, но наблюдатель в системе k' видит систему k, движущуюся относительно него справа налево со скоростью минус υ. При малых скоростях движения или, при бесконечной скорости распрост- ранения взаимодействий теория дальнодействия),преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (принцип соответствия). ( Разобрать самостоятельно )

8.4. Следствия из преобразований Лоренца 1. Одновременность событий в СТО По Ньютону, если два события происходят одновременно, то это будет одновременно для любой системы отсчета (время абсолютно). Эйнштейн задумался, как доказать одновременность? Возьмем два источника света на Земле А и В:

Рисунок 8.4 Если свет встретится на середине АВ, то вспышки для человека находящегося на Земле, будут одновременны. Но со стороны пролетающих мимо космонавтов со скоростью вспышки не будут казаться одновременными, т.к.

Рассмотрим это более подробно. Пусть в системе k (на Земле) в точках 1 и 2 происходят одновременно два события в момент времени Будут ли эти события одновременны в k' (в пролетающей мимо ракете)? Для определения координат в k' воспользуемся преобразованиями Лоренца (8.4.1)

(8.4.2) В соответствии с преобразованиями Лоренца для времени в системе k' получим: (8.4.3) (8.4.4)

События будут абсолютно одновременны в системах k и k', если они происходят в один и тот же момент времени в одном и том же месте Если же в системе k то из (8.4.1) и (8.4.2) видно, что и в k': тогда из (8.4.3) и (8.4.4) видно, что события не одновременны, т.е. Определим интервал времени между событиями в k':

(8.4.5) Разница во времени будет зависеть от и она может отличаться по знаку (ракета подлетает с той или другой стороны).. Интервал времени между событиями в k':

2. Лоренцево сокращение длины (длина тел в разных системах отсчета) Пусть – собственная длина тела в системе, относительно которого тело неподвижно (например: в ракете движущейся со скоростью мимо неподвижной системы отсчета k (Земля)).

Рисунок 8.5 Измерение координат x 1 и x 2 производим одновременно в системе и, т.е

Используя преобразования Лоренца, для координат получим: т.е. или (8.4.6)

Формула называется Лоренцевым сокращением длины. Собственная длина тела, есть максимальная длина. Длина движущегося тела короче, чем покоящегося. Причем, сокращается только проекция на ось x, т.е. размер тела вдоль направления движения.

3. Замедление времени (длительность событий в разных системах отсчета) Пусть вспышка лампы на ракете длится где - собственное время, измеренное наблюдателем, движущимся вместе с часами. Чему равна длительность вспышки с точки зрения человека находящего- ся на Земле, мимо которого пролетает ракета? Так как тогда из преобразова- ний Лоренца:

или (8.4.7) Из этого уравнения следует, что собственное время – минимально (движущиеся часы идут медленнее покоящихся). Таким образом, вспышка на Земле будет казаться длиннее. Этот вывод имеет множество экспериментальных подтверждений.

Так, нестабильные элементарные частицы – пионы, рождающиеся в верхних слоях атмосферы, на высоте 20 – 30 км, при воздействии на нее космических лучей, имеют собственное время жизни За это время они могут пройти путь Но, в результате того, что они двигаются с очень большими скоростями, сравнимыми со скоростью света, их время жизни увеличивается и они до своего распада способны достигать поверхности Земли. Отсюда следует вывод, что у движущихся пионов секунды «длиннее» земных секунд.

В 60 – 70 гг. замедление времени наблюдалось не только с помощью нестабильных микрочастиц, но и проводились прямые измерения с использованием высокоточных часов, основанных на эффекте Мессбауэра. Двое таких часов показывают одно и то же время с точностью до 10 –16 с. В 1971 г. Хафель и Китинг осуществили прямое измерение замедления времени, отправив два экземпляра атомных часов в кругосветное путешествие на реактивном самолете. Потом их показания сравнили с показаниями таких же часов, оставленных на Земле, в лаборатории ВМС США. Время запаздывания составило –9 с, что в пределах ошибок согласуется с теорией.

Это следствие из преобразований Лоренца объясняет известный всем «парадокс близнецов» (самостоятельно).

4. Парадокс близнецов Рассмотрим близнецов А и В в ситуации, изображенной на рис Близнец В совершает космическое путешествие по замкнутому маршруту к звезде Арктур и обратно со скоростью v = 0,99 с. Для наблюдателей на Земле расстояние до этой звезды 40 световых лет.

Определим возраст каждого из близнецов, когда В закончит свое путешествие и вернется обратно на Землю, если до начала путешествия им было по 20 лет. Рис. 7.7

Согласно измерениям А, путешествие займет на 1% больше времени, чем требуется свету для преодоления расстояния до Арктура и обратно (80,8 лет). Поэтому возраст близнеца А к моменту возвращения В составит ,8 = 100,8 лет. Близнец А считает, что часы на космическом корабле идут в раз медленнее, чем на Земле.

Поэтому для В время космического путешествия составит всего лишь 80,8 0,141 = 11,4 года, так что к моменту окончания путешествия близнецу В будет ,4 = 31,4 года, и он окажется на 69,4 лет моложе близнеца, оставшегося на Земле.

Однако имеет место кажущийся парадокс. Действительно, если движение и скорость в самом деле относительны, то как вообще можно прийти к несимметричному результату для А и В? Разве из соображений симметрии не ясно, что оба близнеца должны иметь один возраст в конце путешествия? На первый взгляд кажется, что теория Эйнштейна приводит к противоречию.

Парадокс устраняется, если заметить, что проблеме присуща внутренняя асимметрия. Близнец на Земле всегда остается в одной и той же инерциальной системе отсчета, тогда как космонавт, поворачивая обратно к Земле, меняет ее.

На обратном пути к Земле вследствие «синего смещения», связанного с эффектом Доплера, увеличение частоты оказывается сильнее эффекта замедления времени. И, как следствие, время, показанное путешественниками будет одинаковыми.

4. Сложение скоростей в релятивистской механике Пусть тело внутри космического корабля движется со скоростью и сам корабль движется с такой же скоростью Чему равна скорость тела относительно Земли? Используем для рассмотрения примера рисунок 8.2.

Классическая механика ответит на этот вопрос просто: в соответствии с преобразованиями Гали- лея, скорость тела относительно Земли будет: что, конечно же противоречит положению СТО о том, что скорость света является предельной скоростью переноса информации, вещества и взаимодействий:

Оценим скорость тела, используя преобразования Лоренца. Внутри корабля перемещение dx' за время dt' равно Найдем dx и dt с точки зрения наблюдателя на Земле, исходя из преобразований Лоренца: dy = dy'; dz = dz'; (8.4.8) (8.4.9)

Так как то: (8.4.10) Эта формула выражает правило сложения скоростей в релятивистской кинематике.

Подсчитаем скорость тела в нашем примере в соответствии полученной формулой: Полученный результат не противоречит положению СТО о предельности скорости света.

При медленных движениях, когда получаем нерелятивистские формулы, соответствующие преобразованиям Галилея. (Проверить самостоятельно) Если движение происходит со скоростью света, то (8.4.11)

Полученные формулы сложения скоростей запрещают движение со скоростью больше скорости света. Уравнения Лоренца преобразуют время и пространство так, что свет распространяется с одинаковой скоростью с точки зрения всех наблюдателей, независимо, двигаются они или покоятся.

8.5. Релятивистская механика Релятивистское выражение для импульса Найдем такое выражение для импульса, чтобы закон сохранения импульса был инвариантен к преобразованиям Лоренца при любых скоростях (как мы уже говорили, уравнения Ньютона не инвариантны к преобразованиям Лоренца и закон сохранения импульса в k выполняется, а в k' – нет).

Ньютоновское выражение для импульса Вот это выражение надо сделать инвариантным. Это возможно если в него будут входить инвариантные величины.

0 С v m m0m0

(8.5.2) Это и есть релятивистское выражение для импульса. Из (8.5.2) следует, что никакое тело не может двигаться со скоростью большей или даже равной скорости света (при знаменатель стремится к нулю, тогда что невозможно в силу закона сохранения импульса).

Релятивистское выражение для энергии По определению – импульс релятивист- ской частицы, а скорость изменения импульса равна силе, действующей на частицу Работа силы по перемещению частицы идет на увеличение энергии частицы:

После интегрирования этого выражения получим релятивистское выражение для энергии частицы: (8.5.3) где Е – полная энергия. При в системе координат, где частица покоится, выражение (8.5.3) преобразуется: (8.5.4) – энергия покоя частицы.

Именно утверждение о том, что в покоящейся массе (материи) огромные запасы энергии, является главным практическим следствием СТО E 0 – внутренняя энергия частицы (учитывающая все). Полная энергия в теории относительности складывается из энергии покоя и кинетической энергии (К). Тогда

Справедливость теории проверяется принципом соответствия: при должно быть самостоятельно получить!

Получим еще одно очень важное соотношение, связывающее полную энергию с импульсом частицы. Из уравнения (8.5.2) получим: Таким образом, получили инвариантное выражение, связывающее энергию и импульс.

8.6. Взаимосвязь массы и энергии покоя Масса и энергия покоя связаны соотношением: (8.6.1) из которого вытекает, что всякое изменение массы m сопровождается изменением энергии покоя ΔE 0. Это утверждение носит название взаимосвязь массы и энергии покоя и стало символом современной физики.

Взаимосвязь между массой и энергией оценивалась А. Эйнштейном как самый значительный вывод специальной теории относительности. По его выражению, масса должна рассматриваться как «сосре- доточение колоссального количества энергии». При этом масса в теории относительности не является более сохраняющейся величиной, а зависит от выбора системы отсчета и характера взаимодействия между частицами.

Эйнштейна имеем Таким образом, собственная энергия в 3,1·10 8 раз превышает химическую энергию. Из этого примера видно, что если высвобождается лишь одна тысячная доля собственной энергии, то и это количество в миллионы раз больше того, что могут дать обычные источники энергии. Определим энергию, содержащуюся в 1 г. любого вещества, и сравним ее с химической энергией, получаемой при сгорании 1 г. угля равной. Согласно уравнению

Пример: пусть две одинаковые по массе частицы m движутся с одинаковыми по модулю скоростями навстречу друг другу и абсолютно неупруго столкнутся. До соударения полная энергия каждой частицы Е равна: Полная энергия образовавшейся частицы (эта новая частица имеет скорость ). Из закона сохранения энергии: При взаимодействии частиц суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется.

откуда М равно: (8.6.2) Таким образом, сумма масс исходных частиц 2m, меньше массы образовавшейся частицы М! В этом примере, кинетическая энергия частиц превратилась в эквивалентное количество энергии покоя, а это привело к возрастанию массы

(это при отсутствии выделения энергии при соударении частиц). Выражение «масса покоя» можно употребить как синоним «энергия покоя». Пусть система (ядро) состоит из N частиц с массами m 1, m 2 …m i. Ядро не будет распадаться на отдельные частицы, если они связаны друг с другом. Эту связь можно охарактеризовать энергией связи E св.

Энергия связи – энергия которую нужно затратить, чтобы разорвать связь между частицами и разнести их на расстояние, при котором взаимодей- ствием частиц друг с другом можно пренебречь: (8.6.3) где Δ М – дефект массы. Видно, что Е св будет положительна, если

Это и наблюдается на опыте. При слиянии частиц энергия связи высвобождается (часто в виде электромагнитного излучения). Например, ядро U 238 имеет энергию связи E св = 2,9 10 –10 Дж 1, эВ = 1,8 ГэВ.