Электромагнетизм

Тема 12 Циркуляция вектора магнитной индукции Сегодня: четверг, 21 декабря 2006 г.

Тема 12. Циркуляция вектора магнитной индукции Теорема о циркуляции Магнитное поле соленоида Магнитное поле тороида Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле 12.5 Эффект Холла

12.6. Циркуляция вектора магнитной индукции Возьмем контур l охватывающий прямой ток I, и вычислим для него циркуляцию вектора магнитной индукции т.е. = ?

Вначале рассмотрим случай, когда контур лежит в плоскости перпендикулярно потоку (ток I направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку Воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов: где – проекция dl на вектор,, где R – расстояние от тока I до dl. Тогда

это теорема о циркуляции вектора : циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную:

Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром В этом случае при обходе радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (1–2), а потом в другом (2–1). Поэтому, и следовательно, в этом случае

Итак,, где I – ток, охваченный контуром L. Эта формула справедлива и для тока произвольной формы, и для контура произвольной формы.

Если контур охватывает несколько токов, то (2.6.3) т.е. циркуляция вектора равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром произвольной формы.

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля позволяет легко рассчитать величину В от бесконечного проводника с током :. Рис. 2.10

Итак, циркуляция вектора магнитной индукции отлична от нуля, если контур охватывает ток Сравните с циркуляцией вектора : Магнитные поля, мы уже говорили, называют вихревыми или соленоидальными. Магнитному полю нельзя приписывать потенциал, как электрическому полю. Этот потенциал не был бы однозначным: после каждого обхода по контуру он получал бы приращение.

Линии напряженности электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. А магнитных зарядов в природе нет. Опыт показывает, что линии всегда замкнуты (см. рис.) Поэтому теорема Гаусса для вектора магнитной индукции записывается так:

2.7. Магнитное поле соленоида Применим теорему о циркуляции вектора для вычисления простейшего магнитного поля – бесконечно длинного соленоида, представляющего собой тонкий провод, намотанный плотно виток к витку на цилиндрический каркас

Соленоид можно представить в виде системы одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен любой, перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно (рис. 2.12), симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, в котором вектор перпендикулярен плоскости витка, т.е. линии магнитной индукции имеют направление параллельное оси соленоида внутри и вне его. Рис. 2.12

Из параллельности вектора оси соленоида вытекает, что поле как внутри, так и вне соленоида должно быть однородным. Возьмём воображаемый прямоугольный контур 1– 2–3–4–1 и разместим его в соленоиде, как показано на рис Рис. 2.13

Второй и четвёртый интегралы равны нулю, т.к. вектор перпендикулярен направлению обхода, т.е.

Возьмём участок 3–4 – на большом расстоянии от соленоида, где поле стремится к нулю; и пренебрежём третьим интегралом, тогда где – магнитная индукция на участке 1–2 – внутри соленоида, – магнитная проницаемость вещества. Если отрезок 1–2 внутри соленоида, контур охватывает ток: где n – число витков на единицу длины, I – ток в соленоиде (в проводнике).

магнитная индукция внутри соленоида Вне соленоида: и, т.е.. Бесконечно длинный соленоид аналогичен плоскому конденсатору – и тут, и там поле однородно и сосредоточено внутри. Произведение nI – называется число ампер витков на метр. У конца полубесконечного соленоида, на его оси магнитная индукция равна: (2.7.2)

Если же катушка короткая, что обычно и бывает на практике, то магнитная индукция в любой точке А, лежащей на оси соленоида, направлена вдоль оси (по прав. буравчика) и численно равна алгебраической сумме индукций магнитных полей создаваемых в точке А всеми витками. В этом случае имеем: В точке, лежащей на середине оси конечного соленоида магнитное поле будет максимальным: (2.7.3) где L – длина соленоида, R – диаметр витков.

В произвольной точке конечного соленоида (рис. 2.14) магнитную индукцию можно найти по формуле Рис. 2.14

На рис изображены силовые линии магнитного поля : а) металлического стержня; б) соленоида; в) железные опилки, рассыпанные рассыпанные на листе бумаги, помещенной над магнитом, стремятся вытянуться вдоль силовых линий; г) магнитные полюсы соленоида. Рис. 2.15

2.8. Магнитное поле тороида Тороид представляет собой тонкий провод, плотно (виток к витку) намотанный на каркас в форме тора (бублика) (рис. 2.16). Возьмём контур L в виде окружности радиуса r, центр которого. совпадает с центром тора R. В силу симметрии, вектор в каждом токе направлен по касательной к контуру. Следовательно, (2.8.1) где – длина контура Рис. 2.16

Если контур проходит внутри тороида, он охватывает ток (n – число витков на единицу длины). Тогда, в соответствии с теоремой о циркуляции вектора, можно записать: Отсюда следует, что внутри тора Контур вне тороида токов не охватывает, поэтому вне тороида

Для тороида, где радиус тора намного больше радиуса витка, отношение, тогда магнитное поле тора В можно рассчитать по формуле: В тороиде магнитное поле однородно только величине, т.е. по модулю, но направление его в каждой точке различно

2.9. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле Рассмотрим контур с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длиной l Этот контур находится во внешнем однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости контура. При показанном на рисунке направлении тока I, вектор сонаправлен с.

Рис На элемент тока I (подвижный провод) длиной l действует сила Ампера, направленная вправо: Пусть проводник l переместится параллельно самому себе на расстояние dx. При этом совершится работа:

Итак, (2.9.1) Работа, совершаемая проводником с током при перемещении, численно равна произведению тока на магнитный поток, пересечённый этим проводником. Формула остаётся справедливой, если проводник любой формы движется под любым углом к линиям вектора магнитной индукции.

Выведем выражение для работы по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле. Рассмотрим прямоугольный контур с током (рис. 2.18). Магнитное поле направлено от нас перпендикулярно плоскости контура. Магнитный поток, пронизывающий контур, направлен по нормали к контуру, поэтому. рис. 2.18

Переместим этот контур параллельно самому себе в новое положение 1'-2'-3'-4'-1'. Магнитное поле в общем случае может быть неоднородным и новый контур будет пронизан магнитным потоком. Площадка 4-3-2'-1'-4, расположенная между ста- рым и новым контуром, пронизывается потоком.

Полная работа по перемещению контура в магнитном поле равна алгебраической сумме работ, совершаемых при перемещении каждой из четырех сторон контура: Где, равны нулю, т.к. эти стороны не пересекают магнитного потока, при своём перемещение (очерчивают нулевую площадку).

Провод 1–2 перерезает поток ( ), но движется против сил действия магнитного поля. Тогда общая работа по перемещению контура: или Здесь – это изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

Работа, совершаемая при перемещении замкнутого контура с током в магнитном поле, равна произведению величины тока на изменение магнитного потока, сцепленного с этим контуром. (2.9.5) Выражения (2.9.1) и (2.9.5) внешне тождественны, но физический смысл величины dФ различен.

Соотношение (2.9.5), выведенное нами для простейшего случая, остаётся справедливым для контура любой формы в произвольном магнитном поле. Более того, если контур неподвижен, а меняется, то при изменении магнитного потока в контуре на величину dФ, магнитное поле совершает ту же работу

2.10. Эффект Холла Одним из проявлений магнитной составляющей силы Лоренца в веществе служит эффект, обнаруженный в 1879 г. американским физиком Э.Г. Холлом (1855– 1938). Эффект Холла состоит в возникновении на боковых гранях проводника с током, помещенного в поперечное магнитное поле, разности потенциалов, пропорциональной величине тока I и индукции магнитного поля В.

Эффект Холла Обусловлен действием Лоренцевой силы на свободные заряды в проводнике. Представим себе проводник в виде плоской ленты, расположенной в магнитном поле с индукцией направленной от нас (Рис. 10.9). В случае а) верхняя часть проводника будет заряжаться отрицательно, в случае б) положительно.

Это позволяет экспериментально определить знак носителя заряда в проводнике. При равной концентрации носителей заряда обоих знаков возникает холловская разность потенциалов, если различна подвижность, т.е. дрейфовая скорость носителей заряда. Подсчитаем величину холловской разности потенциалов (Uх). Обозначим: E x – напряженность электрического поля, обусловленного ЭДС Холла, h – толщина ленты проводника. (2.10.1)

Перераспределение зарядов прекратится, когда сила qE x уравновесит лоренцеву силу, т.е. или Плотность тока, отсюда. Тогда. Подставим E x в (2.10.1) и найдем U x : (2.10.2) Где – коэффициент Холла.

холловская разность потенциалов Где – коэффициент Холла.

Исследования ЭДС Холла привели к удивительным выводам: Металлы могут обладать проводимостью р –типа (Zn, Cd – у них дырки более подвижные, чем электроны). Это металлы с чуть перекрывающимися знаками, т.е. полуметаллы.

Из формулы можно вывести число носителей заряда. (10.6.4) Итак, измерение Холловской разности потенциалов позволяет определить: 1)знак заряда; 2)количество носителей.