Р ЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

У СТНО : Что значит решить уравнение ? Что такое корень уравнения ? Что называется логарифмом числа? Какие уравнения называются логарифмическими ? Какие методы решения логарифмических уравнений мы уже рассматривали ? 1. Метод решения с помощью определения. 2. Метод потенциирования. 3. Метод замены переменной.

Ц ЕЛЬ УРОКА : Систематизировать методы решения логарифмических уравнений различных видов.

Р АССМОТРИМ БОЛЕЕ ПОДРОБНО КАЖДЫЙ ИЗ МЕТОДОВ. Решим устно несколько уравнений, используя определение логарифма.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМА Логарифм числа b по основанию a (log a b ) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (Логарифм существует только у положительных чисел). Обозначение: log a b. log a b = x, a x = b. Десятичный логарифм - lg b (Логарифм по основанию 10, а = 10). Натуральный логарифм - ln b (Логарифм по основанию e, а = e).

П РИМЕР 1 Решить уравнения: a) log 2 x = 3, b) log 3 x = -1, Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 / 3 ; утверждение 1 Утверждение 1. Если a > 0, a 1, уравнение Log a x=b при любом действительном b имеет единственное решение x = a b.

Р ЕШИТЕ УСТНО : Log 9 x=1/2 lg x=1 Log 8 x=1/3 lgx=-2 log x 4=2 log x 27=3 3 log log log log 7 4

Ф ОРМУЛЫ И СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ 1° Основное логарифмическое тождество - a log a b = b ; 2° log a 1 = 0; 3° log a a = 1; 4° log a (bc) = log a b + log a c ; 5° log a (b/c) = log a b - log a c ; 6° log a (1/c) = log a 1 - log a c = - log a c ; 7° log a ( b c ) = c log a b ; 8° log ( a c ) b = (1/c) log a b ; 9° Формула перехода к новому основанию - log a b = (log c b )/(log c a ); 10° log a b = 1/log b a ;

.. Уравнения вида log a x = b, a > 0, a 1 (решение с помощью определения). Пример. Решить уравнение log 2 x = 3. Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2 3, x = 8 принадлежит области определения уравнения. Ответ: x = 8.

У РАВНЕНИЯ ВИДА LOG A F ( X ) = LOG A G ( X ), А > 0 Переход от уравнения log a f ( x ) = log a g ( x ) к уравнению f ( x ) = g ( x ) называется потенциированием. Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. Поэтому из найденных корней уравнения f ( x ) = g ( x ) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

П РИМЕР. ( РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПОТЕНЦИИРОВАНИЯ ) Решить уравнение log 2 (3 x – 6) = log 2 (2 x-3 ).

П РИМЕР. ( РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПОТЕНЦИИРОВАНИЯ ). Решить уравнение log 2 (3 x – 6) = log 2 (2 x-3 ). Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств (3 x – 6) >0 (2 x-3 )>0 Потенцируя данное уравнение, получаем 3 х –6= 2 х-3, 3 х – 2 х =6-3 X=3 подставим в уравнение log 2 (3 *3 – 6) = log 2 (2 *3-3 ).- верно Ответ. х = 3.

C ВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ К ВИДУ LOG A F ( X ) = LOG A G ( X ) С ПОМОЩЬЮ СВОЙСТВ ЛОГАРИФМОВ ПО ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ. Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f ( x ) = log a g ( x ) используются следующие свойства логарифмов: log b a + log b c = log b ( ac ), где a > 0; c > 0; b > 0 log b a – log b c = log b ( a/c ), где a > 0; c > 0; b > 0 m log b a = log b a m, где a > 0; b > 0

Р ЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ, ИСПОЛЬЗУЯ МЕТОД ПОТЕНЦИИРОВАНИЯ. Log 2 (x+4)+log 2 (2x+3)=log 2 (1-2X)

LOG B A + LOG B C = LOG B ( AC ), Log 2 (x+4)+log 2 (2x+3)=log 2 (1-2X) ПОТЕНЦИИРУЯ, ПОЛУЧАЕМ: (x+4)(2X+3)=(1-2X) 2X 2 +8X+3X+12=1-2X 2X 2 +13X+11=0 D=169-88=81 X 1 =-1; X 2 =-5,5 проверим найденные корни по условиям x+4> 0 1-2x>0 2x+3>0 значение X=-1 УДОВЛЕТВОРЯЕТ ЭТОЙ СИСТЕМЕ значение X=-5,5 НЕ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ЭТОЙ СИСТЕМЕ Ответ:x=-1

В ВЕДЕНИЕ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0

В ВЕДЕНИЕ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0. Решение. Область определения уравнения (0;+) Введём новую переменную t = lg x, Уравнение примет вид: t 2 –t -6=0 lg x = –2 или lg x = 3, х = 10 –2 или х = Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения ( х > 0). Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Р ЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО. 1. Log 5 (3x+1)=2 2. Решите и выберите правильный ответ: log 2 5 x+log 5 x-2=0 Ответы: 1).5 и 0,04 2).4 и 8 3).0 4).2 А теперь проверим ваши ответы по электронному учебнику.

РЕШИТЬ 3 2log Log 2 68-log 2 17