Выполнил ст. гр. СБ Б. Немченко Сергей.

Что такое матрица ? Карл Фридрих Гаусс Метод Гаусса Использованные источники информации

Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида : называется матрицей размера m n Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Положение элемента а i j в матрице характеризуются двойным индексом : первый i – номер строки ; второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент. Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами : А, В, С … Коротко можно записывать так : На главную

Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы : 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 50 х 101=5050. После 1801 года Гаусс включил в круг своих интересов естественные науки. Катализатором послужило открытие малой планеты Церера, вскоре после наблюдений потерянной. 24- летний Гаусс проделал ( за несколько часов ) сложнейшие вычисления по новому, открытому им же методу, и указал место, где искать беглянку ; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена. Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене. На главную

Метод Гаусса классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого ( или треугольного ) вида, из которого последовательно, начиная с последних ( по номеру ) переменных, находятся все остальные переменные. Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид : x 1, x 2, …, x n – неизвестные. a i j - коэффициенты при неизвестных. b i - свободные члены ( или правые части ) На главную

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений. Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее : 1. перемена местами двух любых уравнений ; 2. умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля ; 3. прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение : Дана система : 1- ый шаг метода Гаусса На первом шаге исключим неизвестное х 1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент. Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а 11. Получим уравнение : где Исключим х 1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х 1 ( соответственно а 21 и а 31 ). Система примет вид : Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы. (1) (2) (3)

2- ой шаг метода Гаусса На втором шаге исключим неизвестное х 2 из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент. Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение :(3) где Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение :(3) Предполагая, что находим (4)

В результате преобразований система приняла вид : Система вида (5) называется треугольной. Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) ( шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.(1)12 Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса. Для этого найденное значение х 3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х 2. Затем х 2 и х 3 подставляют в первое уравнение и находят х 1. (5)

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет. В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду. Треугольная система имеет вид : Такая система имеет единственное решение, которое находится в результате проведения обратного хода метода Гаусса. Ступенчатая система имеет вид : Такая система имеет бесчисленное множество решений.

1. Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса 2. Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a 21 =1, поэтому домножение не требуется ) и из третьего, умножив предварительно на a 31 =3 3. Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего, умножив предварительно на 4,5 ( коэффициент при x 2 ) Тогда x 3 =-42/(-14)=3; x 2 =8-2x3=2 x 1 =8-0,5x2-2x3=1

На главную На главную