x y x0x0 y0y0 n n H B Лекция 7 Одновременное действие продольной силы и изгибающих моментов – Такая комбинация внутренних усилий характерна тем, что в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, которые могут вычисляться по отдельности и складываться в соответствии с принципом независимости действия сил: 11 Во многих учебниках, например [1], можно увидеть знаки + перед слагаемыми, которые записываются ценою изменения направления осей x, у на противоположные или изменения правил для знаков изгибающих моментов (моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение волокон, находящихся в первом квадранте, т.е. при x > 0 и y > 0). Иногда формулу напряжений при совместном действии продольной силы и моментов записывают в виде: x y Далее, сохраняя обычную ориентацию координатных осей, будем использовать новое правило для знаков изгибающих моментов (моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение волокон, находящихся в первом квадранте). Тогда формула для напряжений принимает вид: Выражение показывает, что напряжения в точке линейно зависят от координат x, y. Для определения максимальных напряжений, необходимо найти точку, максимально удаленную от нулевой (нейтральной оси). Здесь x, y – координаты точки, в которой отыскивается напряжение; правила знаков изгибающих моментов соответствуют ранее принятым правилам для плоского изгиба. + + Здесь x, y – расстояния точки от координатных осей, в которой отыскивается напряжение; изгибающие моменты берутся по модулю; знаки слагаемых присваиваются по характеру деформаций (растяжение или сжатие) от каждого из моментов. y x z N MyMy MxMx + + Уравнение нулевой линии – Для получения уравнения нулевой линии достаточно приравнять напряжения нулю: Нулевую линию можно построить с помощью отрезков, отсекаемых этой прямой на координатных осях, которые определяются поочередным заданием нулевых значений каждой из координат: Таким образом, максимальное напряжение возникает в точке в правом верхнем углу рассматриваемого прямоугольного поперечного сечения, которая наиболее удалена от нулевой линии: σ max Этот же результат для данного простого сечения можно получить без нахождения положения нулевой линии, рассматривая знаки слагаемых напряжений в угловых точках :

2 Лекция 7 ( продолжение – 7.2 ) Косой изгиб – В частном случае, при отсутствии продольной силы (N =0) и одновременном действии изгибающих моментов M x и M y сочетание двух прямых (плоских) изгибов вызывает косой изгиб. Нормальные напряжения в произвольной точке сечения теперь определяется выражением: Полный изгибающий момент есть векторная сумма этих векторов, модуль которого равен: Изгибающие моменты и полный момент связаны известными соотношениями: x y H B Плоскость действия полного момента M Напряжения в произвольной точке сечения можно выразить через полный изгибающий момент: Определим положение нейтральной линии, задавая напряжения равными нулю: Плоскость действия момента M x Плоскость действия момента M y Уравнение нейтральной линии представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат. Тангенс угла наклона (угловой коэффициент) равен: MxMx Изобразим изгибающие моменты в виде векторов моментов пар сил, как это делалось в теоретической механике, совпадающими по направлению с положительными направлениями осей: MуMу M β Здесь учтено, что напряжения в первой четверти (x > 0 и y > 0) от изгибающего момента M y отрицательны, поскольку поворот плоскости поперечного сечения от этого момента происходит против часовой стрелки при взгляде навстречу вектору момента и вызывает сжатие волокон в этой четверти. В случае I x > I y, что обычно и бывает при проектировании балки, несущей преимущественно вертикальную нагрузку, угол наклона нулевой линии больше угла наклона полного изгибающего момента. Это означает, что полный прогиб не совпадает с плоскостью действия полного момента. Отсюда и происходит название косого изгиба. β n n Неприятность в том, что при малом отклонении, например, от вертикали расчетной нагрузки или отклонении от вертикали расчетного положения сечения, происходит значительное увеличение напряжений в поперечном сечении и деформаций (прогибов) такой балки. Пусть такое отклонение от вертикали поперечного двутаврового сечения балки 20 с моментами сопротивления W x = 184 см 3, W y =23.1 см 3, с моментами инерции I x = 1840 см 4, I y =115 см 4 составляет всего 2 о. Максимальное напряжение при отклонении оказывается выше на 27.7% от расчетного значения (без отклонения по вертикали), а максимальный прогиб – на 14.5%. Это можно посмотреть в документе MathCAD, в котором задаются единичные значения полного момента и коэффициента пропорциональности прогиба. Полный прогиб вычисляется как геометрическая сумма прогибов в каждой из плоскостей:

3 Внецентренное растяжение-сжатие – Рассмотренная комбинация внутренних усилий может возникать при действии растягивающей или сжимающей силы F, не совпадающей с осью стержня и имеющей некоторые смещения относительно центральных осей (эксцентриситеты) x F и y F. При переносе силы параллельно самой себе в новый центр возникают моменты M x и M y присоединенных пар (метод Пуансо): F x y z C xFxF yFyF MyMy MxMx Таким образом, в произвольном сечении стержня имеем внутренние усилия: N = - F; M x = - Fy F ; M y = - Fx F. и уравнение нулевой линии принимает вид:или с использованием радиусов инерции сечения: При проектировании массивных сжатых стоек из материалов, имеющих предел прочности на растяжение значительно меньше чем на сжатие (бетон, кирпичная или бутовая кладка, чугун) необходимо обеспечить в поперечном сечении отсутствие растягивающих напряжений, т.е. нулевая линия не должна пересекать контур поперечного сечения. Таким образом, встает вопрос о допустимых смещениях сжимающей силы относительно центральных осей поперечного сечения. Область допустимых положений продольной силы, при которых во всем сечении возникают напряжения одного знака, называется ядром сечения. Построение ядра сечения – Рассмотрим для простоты прямоугольное сечение размером bxh: Радиусы инерции сечения: x y B H Зададим положение нулевой линии по верхнему краю сечения и определим координаты точки приложения продольной силы, соответствующие этой нулевой линии: Уравнение нулевой линии: n1n1 n1n1 Из уравнения нулевой линии можно определить координаты силы: 1 Зададим положение нулевой линии по правому краю сечения и определим координаты точки приложения продольной силы, соответствующие этой нулевой линии: Уравнение нулевой линии: n2n2 n2n2 2 Далее, повторяя это для двух остальных сторон сечения, получаем положения продольной силы. Полученные точки являются вершинами ядра сечения. 3 4 n3n3 n3n3 n4n4 n4n4 Можно доказать, что при изменении положения точки приложения продольной силы нулевой линии по прямой, соединяющей две вершины ядра сечения, нулевая линия, оставаясь касательной к контуру, лишь поворачивается, или наоборот, при повороте нулевой линии вокруг угла сечения (n 1 -n 1 переходит в n 2 -n 2 ) точка приложения продольной силы перемещается по прямой, соединяющей вершины 1 и 2: Уравнение нулевой линии (1) показывает, координаты точки приложения силы и координаты точки, в которой напряжения обращаются в нуль, обладают взаимностью, выражающейся в том, что если силу поместить в любую точку найденной нулевой линии, то новая нулевая линия пройдет обязательно через точку, в которой была ранее сила. Следовательно при движении точки приложения силы по прямой, совпадающей с первоначальной нулевой линией, например, по верхнему краю сечения, новая нулевая линия будет продолжать проходить через ту же точку, вращаясь вокруг нее, поскольку уравнение (1) остается в силе. В системе MathCAD можно показать, что при повороте нулевой линии вокруг неподвижной точки, например, правого верхнего угла прямоугольного сечения, точка приложения силы перемещается по прямой из положения 1 в положение 2 ( - угол наклона нулевой линии, с – произвольный отрезок нулевой линии). (1) с с yFyF xFxF Лекция 8

4 Лекция 8 ( продолжение – 8.2 ) Изгиб с кручением – При одновременном действии изгибающих моментов M x и M y икрутящего момента M z в поперечном сечении возникают как нормальные напряжения (от изгиба), так и касательные напряжения ( от кручения). Такое совместное действие испытывают оси редукторов, валы двигателей, ведущие оси колесных пар локомотивов. Для определения опасного сечения в таких элементах должны быть построены эпюры указанных внутренних усилий, включая в определенных случаях эпюры поперечных сил. В случае равенства моментов инерции относительно главных осей, что и имеет место для валов круглого сечения, при действии изгибающих моментов в двух плоскостях косой изгиб не возникает. Изгибающие моменты M x и M y могут быть заменены одним (полным) изгибающим моментом M и. Аналогично и поперечные силы Q y и Q x приводятся к равнодействующей силе Q. Таким образом, брус круглого сечения испытывает сочетание прямого (плоского) поперечного изгиба икручения (при отсутствии продольной силы). x y Эп.σ и Эп. кр Эп. и n n Нормальные напряжения определяются по формуле Касательные напряжения от кручения – по формуле: Касательные напряжения от поперечной силы - Здесь принимаем, что ось x совпадает с положением нулевой линии n-n. При расчете круглых валов опасные точки находятся на контуре поперечного сечения, максимально удаленных от осей x и z, в которых одновременно достигают максимума нормальные изгибные и касательные напряжения от кручения (касательные напряжения от поперечной силы максимальны на оси x и равны нулю при y = y max ): z При чистом кручении напряженным состоянием элементарного параллелепипеда является чистый сдвиг. При наличии дополнительно изгиба напряженным состоянием элементарного параллелепипеда является уже частный случай плоского напряженного состояния ( y = 0). и икр Максимальные нормальные и касательные напряжения возникают в точках контура A и B. A B Главные напряжения в этих точках определяются соотношениями: При расчете на прочность необходимо воспользоваться одной из теорий прочности, рассматриваемых подробно в следующей лекции. Условие прочности по III теории прочности для рассматриваемого напряженного состояния принимает вид: Условие прочности по IV теории прочности: Используя выражения для максимальных нормальных и касательных напряжений и учитывая, что W =2W x получаем: и Тогда условие прочности по III и IV теориям прочности можно записать в виде одного выражения: где - эквивалентные моменты по III и IV теориям прочности

5 Лекция 8 ( продолжение – 8.3 ) Определение перемещений в пространственном стержне – В пространственном стержне в общем случае на каждом из участков могут возникать различные комбинации внутренних усилий. Техника построения эпюр для пространственных ломаных стержней рассматривалась в лекции 6. Каждая точка оси бруса под действием приложенной нагрузки может иметь в общем случае три перемещения в пространстве (u, v и w). Кроме того, поперечное сечения бруса может иметь три угла поворота относительно центральных осей. Таким образом, необходим общий метод определения указанных перемещений. Таким методом является метод Максвелла-Мора, основанный на использовании вспомогательных состояний, в которых задается единичное усилие (сила или момент-пара сил) по направлению искомого перемещения. В самой общей форме перемещения с использованием интегралов Мора имеет вид: Здесь iq – любое перемещение (u,v, w, x, y, z ), - выражения для внутренних усилий от единичного усилия, соответствующего искомому перемещению по направлению и характеру (ед. сила или момент); k x, k y – коэффициенты, зависящие от формы сечения: Для прямоугольного сечения k x = k y = 1.2 Для круглого сечения k x = k y = 32/27 =1.185 В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах и арках влиянием продольных деформаций и сдвига пренебрегается и формула Мора принимает вид: На лекции 6 были построены эпюры изгибающих икрутящего моментов от нагрузки для пространственного ломаного бруса. Для определения, например, линейного перемещения центра поперечного сечения бруса, расположенного на его конце по направлению силы F необходимо приложить в этой точке по этому же направлению единичную силу P = 1 и построить соответствующие эпюры изгибающих икрутящего моментов от этого воздействия. F=qe q a =1 b = 1 d = 0.8 M=qa 2 c = 1.8 y z x x y z A x y z y x z y z x e = 0.9

6 Лекция 8 ( продолжение – 8.4 ) Пример определения перемещений в пространственном ломаном брусе – С рассмотрением влияния деформаций только от изгиба икручения перемещения формула Мора имеет вид: MxMx 1.93q 2.73q - MyMy 0.1q MzMz 0.8q q 0.1q q q 1.05q 0.81q q + F=qe q a =1 b = 1 d = 0.8 M=qa 2 c = 1.8 y z x x y z A x y z y x z y z x e = 0.9 Ранее были построены для ломаного пространственного бруса эпюры изгибающих икрутящих моментов от действия показанной нагрузки: Для определения перемещения конца бруса по направлению силы F приложим единичную силу P=1 в этом направлении: P=1 Построим эпюры изгибающих икрутящего моментов от действия силы P=1: MzMz P=1 MyMy P=1 MxMx P=1 Задавая геометрические характеристики поперечного сечения (форма, размеры, моменты инерции) и модули упругости, вычислим сумму интегралов Мора с использованием правила Верещагина, формул трапеций и парабол: Подобным же образом можно вычислить любое другое перемещение этого или иного поперечного сечения. Для каждого из них необходимо выбрать соответствующее единичное нагружение, построить единичные эпюры и перемножить грузовые и единичные эпюры.