Презентация на тему : « Параллельность трёх прямых » Подготовили ученицы 10 «А» класса Колганова Наталья, Филякина Татьяна. Руководитель Киселёва Т.С.

Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Дано: а׀׀с, b׀׀с. Доказать: а׀׀b С а b а b α к α к

1) Отметим точку К на прямой b и обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямую а и точку К. Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости. Если допустить, что прямая b пересекает плоскость α, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с также пересекает плоскость α. Но так как а׀׀с, то и прямая а пересекает плоскость α, что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости α. 2) Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b), параллельные прямой с, что невозможно. Теорема доказана. Теорема доказана. Доказательство: С be к

Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. другая прямая пересекает эту плоскость. Дано: а ׀׀b, а α=М. b а а Дано: а ׀׀b, а α=М. b а а Доказать : b α. Доказать : b α. Доказательство: М b М Доказательство: М b М 1) β – плоскость, в которой лежат α N α 1) β – плоскость, в которой лежат α N α а׀׀b. α и β имеют общую точку М а׀׀b. α и β имеют общую точку М они пересекаются по прямой р. Прямая р лежит р β в плоскости β и пересекает прямую а р b=N. Прямая р лежит в плоскости α N – точка плоскости α N – общая точка прямой b в плоскости α N – точка плоскости α N – общая точка прямой b и плоскости α. 2) Докажем, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки N. 2) Докажем, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки N. Если допустить, что прямая b имела ещё одну точку с плоскостью α, то она была бы общей прямой плоскостей α и β, т.е. совпадала бы с прямой р. Это невозможно. Если допустить, что прямая b имела ещё одну точку с плоскостью α, то она была бы общей прямой плоскостей α и β, т.е. совпадала бы с прямой р. Это невозможно. Лемма доказана. Лемма доказана.

Задача 19 Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСD Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые АD и DC также пересекают плоскость α. D Дано: АBCD – параллелограмм, Дано: АBCD – параллелограмм, АB и BC пересекают плоскость α. АB и BC пересекают плоскость α. Доказать: AD и DC α. C Доказать: AD и DC α. C A α K M α K M B

Решение Решение С С А К М К М В 1) АВ пересекает плоскость α в точке М, так как АВСD - параллелограмм, то АВ ׀׀ СD, а по лемме АВСD - параллелограмм, то АВ ׀׀ СD, а по лемме (если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.) выходит, что и СD пересекает плоскость α. (если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.) выходит, что и СD пересекает плоскость α. 2) ВС пересекает плоскость α в точке К, так как АВСD – параллелограмм, то ВС ׀׀ АD. 2) ВС пересекает плоскость α в точке К, так как АВСD – параллелограмм, то ВС ׀׀ АD. По лемме выходит, что и АD пересекает плоскость α. По лемме выходит, что и АD пересекает плоскость α. Задача доказана. Задача доказана. D