Формула суммы n- первых членов арифметической прогрессии

отрабатывать навыки применения формулы n-го члена арифметической прогрессии, формулы суммы n-членов арифметической прогрессии; воспитывать аккуратность и дисциплинированность; развивать умение выделять главное, сравнивать, обобщать изучаемые факты, логически излагать свои мысли.

1. Приведите примеры последовательности. 2. Сформулируйте определение арифметической прогрессии. 3. По какой формуле вычисляется n-й член арифметической прогрессии?

Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

С формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика Карла Фридриха Гаусса ( ). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно», надеясь, что это займёт много времени. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул : «Я уже решил…» Большинство учеников после долгих вычислений получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное. Маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. И таких чисел будет 50. Осталось умножить 101 на 50, что он сделал в уме. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли «царём математики».

Задача 1: Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, в которой a 1 = 6, d= 4 Решение: Найдём сумму по формуле:S=(a 1 + а n ) :2 ·n По формуле а n =a 1 + d(n-1) найдём сначала а 16. а 16 = (16 – 1) = 6 + 4·15=66, тогда S 16 = (6 +66) : 2 ·16 = 72·8 =576 Ответ:576

Задача 2: Тело в первую секунду прошло 16 метров, а в каждую следующую проходило на 3 метра больше, чем в предыдущую. Какой путь прошло это тело за 7 секунд? Решение: Найдём сумму по формуле:S=(a 1 + а n ) :2 ·n По формуле а n =a 1 + d(n-1) найдём сначала а 7. а 7 = (7 – 1) = 16+18=34, тогда S 7 = (16 +34) : 2 ·7 = 50:2 ·7 =175 Ответ:175

Задача 3: Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший 5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Найдите длину семи стержней. Решение: Составим последовательность (а n ) : 5; 7; … а 1 = 5 d= 2 S 7 =? а 7 = (7 – 1) = 17 S 7 =(5 +17) : 2·7= 77 Ответ:77

Задача 4: Какое из следующих чисел не является членом арифметической прогрессии 12; 14;16;… А) 60 Б) 62 В) 63 Г) 66 Ответ В Задача 5: Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду один шар, во втором – два, в третьем – три и т.д. Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Ответ : 15

Определение арифметической прогрессии a n+1 = a n + d Разность арифметической прогрессииd = a n+1 - a n Формула n-го члена арифметической прогрессии a n = a 1 + d · (n - 1) Сумма n первых членов арифметической прогрессии Характеристическое свойство арифметической прогрессии

В заключении вспомним строки А.С.Пушкина из романа «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб - стихотворный метр с ударениями на чётных слогах стиха, то есть ударными слогами являются 2-й, 4-й,6-й,8-й и так далее слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2;4;6;8;… Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но её первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум:1;3;5;7;….

1. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии. 2. Сколько положительных членов в арифметической прогрессии 96,4; 91,8;….? 3. Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию