Математика Урок одного уравнения Решение тригонометрических уравнений различными способами МБОУ Кочневская СОШ Учитель Грязнова А.К.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Метод введения вспомогательного аргумента. Метод введения вспомогательного аргумента 2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат Возведение обеих частей уравнения в квадрат 3. Использование тригонометрических формул Использование тригонометрических формул 4. Сведение к однородному уравнению второй степени Сведение к однородному уравнению второй степени 5. Метод оценивания. Метод оценивания 6. Графический метод Графический метод 7. Замена переменных Замена переменных 8. Универсальная тригонометрическая подстановка Универсальная тригонометрическая подстановка

Ответ: ; 1. Метод введения вспомогательного аргумента Решение. a = b = 1, Получим : Решить уравнение: Любое решение будет изображаться одной из этих точек.

2. Возведение обеих частей в квадрат Решение. Возведём обе части в квадрат Т. к., Решить уравнение: Возведение в квадрат неравносильное преобразование, поэтому полученные корни нужно будет проверять, подставив в исходное уравнение. Проверка

Ответ: ; 2. Возведение обеих частей в квадрат ( продолжение ) Решение. Т.е. Подставляя полученные значения переменной в уравнение, получим, что не все из них являются решением уравнения. Посторонними являются числа вида Т.к.

3. Использование тригонометрических формул Решение. Так как, приходим к уравнению Решить уравнение:. Преобразуем сумму синусов в произведение : Ответ: ;

4. Сведение к однородному уравнению второй степени Решение. Используя формулы двойного угла для синуса и косинуса, а также основное тригонометрическое тождество, получим: Решить уравнение:. х Значения х, при которых, не являются решением уравнения. Разделим полученное уравнение на получим: Ответ: ; или

Продолжение г) Если четверти, то б) Если четверти, то в) Если четверти, то Тогда, 5. Метод оценивания Решение. Рассмотрим четыре случая. Решить уравнение:. а) Если четверти, то

Ответ: ; Итак, решением могут быть только числа в «граничных» точках (т.е. в точках пересечения числовой окружности с осями координат). Проверяя каждую из них, находим корни: 5. Метод оценивания (продолжение)

Решение. Если, то Построим графики функций и Абсциссы точек пересечения графиков являются решением уравнения. 6. Графический метод Ответ:

Решит уравнение Решение. Выполним замену :. Тогда Т. к., то 7. Замена переменной Ответ:

Заметим, что корнями исходного уравнения не являются значения, при которых не определён, т.е., значит при Пусть. Тогда 8. Универсальная тригонометрическая подстановка Решение. Этот способ решения применяют лишь в том случае, когда не видно других путей решения. Выполнив замену, получим :

8. Универсальная тригонометрическая подстановка (продолжение) Ответ: Так как знаменатель дроби принимает только положительные значения, данное уравнение равносильно уравнению:

Справка 1 Справка 1 Метод введения вспомогательного аргумента Поделив обе части на получим:

Справка 2 Справка 2 Сведение к однородному уравнению второй степени Применим формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество Выполнив тождественные преобразования получим однородное уравнение второй степени

Справка 3 Справка 3 Универсальная тригонометрическая подстановка Полученное выражение поделим и умножим на (т.е. умножим на 1)

Справка 3 Справка 3 (продолжение) Универсальная тригонометрическая подстановка Полученное выражение поделим и умножим на =

Всего вам хорошего !! Успехов в учёбе !! Каждый способ решения научил нас чему-то полезному. Когда–нибудь, например, на экзаменах или контрольной, именно один из них поможет решить сложное тригонометрическое уравнение.

Домашнее задание 1. Школьный тест в Дневнике. ру. ( составитель Грязнова А. К.) « Тригонометрические уравнения » 2. Федеральный центр информационно - образовательных ресурсов trigonometricheskih-uravneniy-ispolzovanie-neskolkih-priemov-pri- reshenii-trigonome.html trigonometricheskih-uravneniy-ispolzovanie-neskolkih-priemov-pri- reshenii-trigonome.html ( выйти по сноске и нажать - загрузить модуль ). Пояснение ко 2 заданию : Решаете самостоятельно ; решение записать в тетрадь. Если возникают затруднение, то разбираетесь в представленной помощи в модуле. Удачи !!

1. Научно практический журнал для старшеклассников « Математика для школьников » г 2. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра и начала анализа для 10 класса общеобразовательных школ / М.: Просвещение, 2006 г 3. Программу для построения графиков функций Advanced Grapher 2.06 ( сайт « Компьютер школьного учителя математики » - электронный журнал ) 4. Материалы Федерального центра информационно - образовательных ресурсов Использованные материала ispolzovanie-neskolkih-priemov-pri-reshenii-trigonome.html