Презентация на тему : « Натуральные и целые числа » Выполнили : Богатова Екатерина Гребельник Ксения Купоросова Ирина Подзолко Анастасия

Натуральные числа Натуральные числа - числа, используемые для счёта, т. е числа 1,2,3,4,5… Натуральные числа можно складывать и перемножать - в результате получится натуральное число. Операции вычитания и деления выполнимы не всегда. ( Например, 3-5=-2) Множество натуральных чисел обозначают буквой N

Целые числа Целые числа расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к натуральным числам нуля и отрицательных чисел. Над целыми числами выполнимы операции сложения, умножения и деления. Множество целых чисел обозначается буквой Z

Понятия делимости Если для двух целых чисел a и b существует такое целое число q, что bq=a то говорят, что число a делится на b.

а – делимое b – делитель q – частное

Свойства 1) Если а : c и с : b, то а : b. 2) Если а : b и с : b, то ( а + с ) : b 3) Если а : b и с не делится на b, то ( а + с ) не делится на b. 4) Если а : b и ( а + с ) : b, то с : b 5) Если а : b1 и с : b2, то ас : b1b2 6) Если а : b и с – любое натуральное число, то ас : b с, то а : b. 7) Если а : b и с – любое натуральное число, то ас : b. Свойство, обратное свойству 7, не имеет места 8) Если а : b и с : b, то для любых натуральных чисел n и k справедливо соотношение ( а n + с k) : b. 9) Среди n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на n.

Признаки делимости – правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратноым заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление.

Выдающиеся математики, занимающиеся признаками делимости Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228) Блез Паскаль (1623 – 1662)

Признаки делимости Признак делимости на 2: Число делится на 2 только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Доказательство Пусть с – цифра единиц натурального числа р. Любое натуральное число р можно представить в виде 10 а + с, где с – целое неотрицательное число. Так как 10 кратноо 2, то 10 а кратноо 2. Если с кратноо двум, то (10 а + с ) кратноо 2. Если, напротив, (10 а + с ) кратноо 2, то с кратноо 2. Аналогичные рассуждения позволяют получить признаки делимости на 5 и 10.

Признак делимости на 5 Число делится на 5 только тогда, когда число оканчивается на 0 или на 5. Признак делимости на 10 Число делится на 10 только тогда, когда оно оканчивается на 0.

Задача 1 Купили пять одинаковых коробок цветных карандашей. Может ли в них оказаться всего 92 карандаша ?90 карандашей ? 75 карандашей ? Ответ : 92 карандаша не может, т. к 92 не делится на 5 без остатка, 90 и 75 может, т. к 90:5=18, 75 :5= 15.

Признак делимости на 8 Число делится на 8, когда три последние цифры составляют число, делящееся на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4+5*2+2=48

Задача 2 Какие цифры можно поставить вместо *, чтобы число было кратноо 8? 81*8, 241*, 22*8, 345*. Ответ : 8128,

Признак делимости на 4 Число делится на 4, когда две последние цифры составляют число, делящееся на 4. Например, последние цифры 76, и число 76 делится на 4. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4. Например, число 42 не делится на 4, так как 2*4+2=10 не делится на 4.

Задача 3 Запишите числа кратноые 2,4,5,

Кратны 2 Кратны 4 Кратны 5 Кратны

Признак делимости на 3 Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3. Признак делимости на 9 Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9. Например, сумма цифр числа делится на 9, следовательно и само число делится на = 36

Признак делимости на 6 Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 ( то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Признак делимости на 7 Число делится на 7, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15*7+4=49.

Признак делимости на 11,13 Число делится на, 11 или 13 тогда и только тогда, когда разность между числом выраженным его тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами ( или наоборот ), делится соответственно на 11 или на 13. Число делится на 11, так как разность =11, очевидно, делится на 11

Задача 4 Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2,5, 9, 11?

Признак делимости на 25 Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25. Например, число 4850 делиться на 25, т. к 50:25=2.

Тест Верны ли данные утверждения ? Если число кратноо 8, то оно кратно 0 и 4. Если число кратноо 5, то оно кратноо и 25, и 125. Если число кратноо 10, то оно кратноо и 5. Если число кратноо 9, то оно кратноо и 3. Если число кратноо 3, то оно кратноо и 6, и 9. Используя цифры 3,4,2 можно записать трехзначное число, кратноое

Простые и составные числа Если натуральное число имеет только два делителя - само себя и 1, то его называют простым числом. Если натуральное число имеет больше двух делителей, то его называют составным числом.

Какие из этих чисел простые, а какие – составные ? 2,35,3,5,8,11,121,19,101,333

Теорема 1 Любое натуральное число а >1 имеет хотя бы один простой делитель Теорема 2 Множество простых чисел бесконечно Теорема 3 Расстояние между двумя соседними простыми числами может быть больше любого наперёд заданного натурального числа

Деление с остатком Если натуральное число а не делится на натуральное число b, то рассматривают деление с остатком. Например, при делении числа 41 на число 8 в частном получается 5 ( неполное частное ) и в остатке 1. При этом имеет место соотношение 41=8*5 + 1.

Теорема Если натуральное число а больше натурального числа b и а не делится на b, то существует, и только одна, пара натуральных чисел q и r, причем r < b, такая, что выполняется равенство а=bq + r

Формула четного числа : n=2k Формула нечетного числа : n=2k + 1

Наибольший общий делитель Наибольшим общим делителем ( НОД ) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей. Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел m и n: НОД (m, n); ( m ; n );

Нахождение наибольшего общего делителя : Разложить числа на простые множители. Найти одинаковые множители. У одного из чисел взять их в кружок. Найти произведение тех множителей, которые взяли в кружок.

ПРИМЕР Выпишем все делители чисел 48 и 36: 48: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48 36: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 Выделим общие делители чисел 48 и 36: 1; 2; 3; 4; 6; 12; Наибольший общий делитель чисел 48 и 36 равен 12 НОД (48;36) = 12

Взаимно простые числа

Наименьшее общее кратноое Наименьшее общее кратноое ( НОК ) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка. Обозначается одним из следующих способов : НОК (m, n); [m, n];

Теорема 5 Если даны натуральные числа а и р, причем р – простое число, то а делится на р, либо а и р – взаимно простые числа.

ПРИМЕР Рассмотрим на примере чисел 15 и 20 Выпишем числа кратноые 15 и 20: 5: 15; 30; 45; 60; 75; 90, 105, 120 … 20: 20; 40; 60; 80; 100; 120 … Выделим общие кратноые чисел 15 и 20: Наименьшее общее кратноое чисел 15 и 20 равно 60 НОК (15;20) = 60

Если К – общее кратноое чисел a и b, то К кратноо НОК (a, b). Если a кратноо b1 и a кратноо b2, то a кратноо НОК (b1, b2). Если a кратноо c и b кратноо c, то ab/c – общее кратноое чисел a и b. Если a кратноо b1, a кратноо b2 и числа b1,b2 – взаимно простые, то a кратноо b1*b2. Если числа a и p взаимно простые и ac кратноо p, то c кратноо p. Если p – простое число и ac кратноо p, то хотя бы одно из чисел a, c делится на p. Свойства

Теорема 6 Для любых натуральных чисел a и b справедливо равенство НОК (a, b)* НОД (a, b)=ab Следствие : Если числа a и b взаимно простые, то НОК ( a, b)= ab

Задача Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете ? Решение : 1) НОД ( 210, 126 и 294) = 42 ( букета ). 2) 210 : 42 = 5 ( бордовых роз ). 3) 126 : 42 = 3 ( белых роз ). 4) 294 : 42 = 7 ( красных роз ). Ответ : 42 букета : 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете.

Задача Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять ? Решение : 1) НОК (45 и 60) = ) 180 : 45 = 4 – было столбов. 3) 180: 60 = 3 – стало столбов. Ответ : 4 столба, 3 столба.

Основная теорема арифметики натуральных чисел

Немного предыстории Распределение простых чисел в натуральном ряду очень неравномерно и всегда привлекало внимание математиков своими загадками. Ряд глубоких результатов о простых числах был получен в XIX-XX веке. Например, замечательный русский математик П. Л. Чебышев в 1850 году доказал так называемый асимптотический закон распределения простых чисел, указывающий примерную долю простых чисел среди всех натуральных чисел. С другой стороны, ряд гипотез о простых числах остается недоказанным. Например, легко заметить, что простые числа иногда встречаются парами, « близнецами »: 17 и 19, 41 и 43, 311 и 313 и т. п. До сих пор не доказано, существует ли бесконечное количество близнецов или нет.

Чебышёв Пафнутий Львович ( )

Теорема 1 Любое натуральное число ( кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители Например, 81=9*9, 121=11*11, 56=7*8

Доказательство : Пусть a- составное число. По теореме 1( любое натуральное число a>1 имеет хотя бы один простой делитель ), т. е. число a можно представить в виде a=a p, где p - простое число. Если при этом и a - простое число, то теорема доказана Если a - составное число то по тому же свойству, число a, можно представить в виде a =a p, где p - простое число. Если при этом и a - простое число, то теорема доказана. Но если a - составное число, то разложение получится бесконечным, что невозможно, так как все указанные числа меньше a, поэтому их конечное множество.

Пример : Пример : Такое произведение называется разложением на множители или каноническим разложением ( когда простые множители располагаются в порядке возрастания ) Приведём каноническое разложение числа 360=2*2*2*3*3*5 или 360=2^3*3^3*5

Теорема 2 Теорема 2 Если натуральное число разложено на простые множители, то такое разложение единственно ; иными словами, любые два разложения числа на простые множители отличаются друг от друга лишь порядком множителей Например, рассмотрим число ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ ǀ 3 49 ǀ 7 7 ǀ 7 1 ǀ Итак, 7056=2^4*3^2*7^2

Каноническое разложение Число s может принимать четыре различных значения (0,1,2,3) Число r- три различных значения (0,1,2) Число t- два различных значения

Задача : Составьте разложение на простые множители числа Решение : ǀ ǀ ǀ ǀ2 6750ǀ2 3375ǀ5 645ǀ5 135ǀ5 27ǀ3 9ǀ3 3ǀ3 Итак, =2^5*5^3*3^3

Спасибо за внимание !