Синтез наблюдателей пониженного порядка

Для получения рациональной оценки координат вектора состояния при отсутствии шумов в измерениях Люенбергером был предложен метод, позволяющий восстанавливать только требуемые переменные вектора состояния системы. Рассмотрим линейную наблюдаемую стационарную систему в которой y(t) - m- мерный вектор выходных координат, причем m < n и rang C=m, т.е. имеется m линейно независимых уравнений для определения m переменных вектора состояния по вектору выхода y(t). Следовательно, порядок наблюдателя может быть снижен до (n - m). Предположим, что оценка вектора состояния системы может быть выполнена с помощью фильтра (n - m)-го порядка где z(t) - (n - m)- мерный вектор состояния; F, G1, G2 - матрицы с размерами (n - m)x(n - m), (n - m)x m, (n -m)x z соответственно.

Определим условия, которым должны удовлетворять матрицы F, G1, G2 фильтра. Допустим, что параметры фильтра можно подобрать такие, чтобы Умножим обе части уравнения слева на матрицу Т, тогда получим следует Оценку вектора состояния будем искать в виде где Н и G -матрицы с размерами n x(n - m) и (n x m) соответственно.

Потребуем выполнение условия откуда следует, где I - единичная матрица Элементы пяти матриц: F, G1, G2, G, H, связанные уравнениями, могут выбираться до некоторой Векторно-матричная модель системы управления с наблюдателем Люенбергера при имеет следующий вид: степени произвольно. или

Наблюдатель Люенбергера не изменяет полюсы замкнутой системы управления, а лишь добавляет к ним свои собственные. Таким образом, синтез наблюдателя пониженного порядка может выполняться по следующему алгоритму. 1. Проверить наблюдаемость исходной системы с определением индекса наблюдаемости m. 2. Выполнить анализ матрицы состояния А объекта управления с определением корней характеристического уравнения. 3. Выбрать матрицу F таким образом, чтобы обеспечить требуемое время переходного процесса в наблюдателе. 4. Произвольно задать матрицу G1, соблюдая при этом выполнение условия управляемости фильтра по вектору y (t), т.е. необходимо, чтобы, где p=n - m 5. Решить матричное уравнение относительно Т 6. Вычислить матрицу 7. Вычислить матрицы Н и G

Общая схема системы управления с наблюдателем пониженного порядка будет иметь вид, представленный в среде компьютерного комплекса FuncPro 1.0

Компьютерная реализация указанного алгоритма позволяет конструировать наблюдатели координат, измерение которых затруднено или практически невозможно. Так, например, для построения системы управления электромеханического объекта с упругой передачей механического движения от вала электродвигателя к валу рабочего механизма требуется измерение упругого момента. Проще и эффективнее здесь использовать вычислительное устройство, построенное как наблюдатель первого порядка, а координаты тока, скоростей электродвигателя и механизма регистрировать с помощью датчиков. Таблица Параметры электромеханического объекта

Выполнение отмеченной процедуры для электромеханического объекта с параметрами, приведенными в табл , приводит следующим результатам. Корректность полученных результатов подтверждают динамические характеристики системы с регулятором состояния и наблюдателем упругого момента, приведенные на рис Регулятор состояния здесь синтезирован при использовании в качестве критерия качества биномиального распределения корней ( =8.5 с-1).