Матрицы в экономике

Матрицы Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямо -угольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Виды матриц 1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа 2. Квадратные: m=n 3. Матрица строка: m=1. Во многих практических задачах такая матрица называется вектором 4. Матрица столбец: n=1. В практических задачах еще называется вектор-столбец 5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если ij. 6. Единичная матрица: m=n и aij=0, если i не равно j, aij=1, если i=j 7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,...,m, j=1,2,...,n 8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны Симметрическая матрица: m=n и aij=aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы)

Действия над матрицами 1. Сложение матриц - поэлементная операция 2. Вычитание матриц - поэлементная операция 3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция 4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B) Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, т.е.

Обратная матрица Матрица называется обратной для матрицы А, определитель которой отличен от нуля, если справедливы равенства где E – единичная матрица порядка n на n.

Определения: Минор k-го порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k, которая получается из элементов матрицы А, находящихся в выбранных k строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n). Минор k-го порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k, которая получается из элементов матрицы А, находящихся в выбранных k строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n). Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор (n-1)-го порядка, который получается из матрицы А, вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-го столбца, умноженный на. Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор (n-1)-го порядка, который получается из матрицы А, вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-го столбца, умноженный на.

Алгоритм вычисления обратной матрицы Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима). Строим матрицу из алгебраических дополнений элементов Aij. Транспонируем полученную матрицу, тем самым получаем А'ij. Делим каждый элемент матрицы A'ij на число, равное вычисленному значению определителя.

Решение СЛУ матричным методом Система алгебраических уравнений может быть записана в виде: В матричной форме это записывается, как АХ=В, где Тогда:

Решение экономических задач матричным методом

Задача 1 Пусть предприятие выпускает продукцию трёх видов (P 1, P 2, P 3 ), использует сырьё двух типов (S 1, S 2 ). Нормы расхода сырья: объем заказа Стоимость единицы каждого типа сырья (ден.ед) представлена матрицей-столбцом: Требуется определить затраты сырья и общую стоимость заказа

Решение задачи 1 Матрица-строка затрат сырья S может быть записана как произведение: S =С × A, где S – затраты сырья; С – заказ; A – матрица производства. Общая стоимость сырья может быть записана в виде:

Задача 2 Поступление товаров на первый склад описывается матрицей: Поступление товаров на второй склад описывается матрицей: Найти суммарный завоз товаров на склады; годовой завоз на склады, если по договору, производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров. Решение Найдем суммарный завоз: Найдем годовой завоз:

Задача 3 Расчет коэффициентов множественной регрессии (зависимости). Пусть имеется n наблюдений за некоторым экономическим процессом, зависящим от m факторов. Тогда результаты наблюдений можно оформить так: Необходимо построить модель регрессии в виде Тогда, неизвестные коэффициенты bi можно найти из выражения:

Пример решения задачи 3 Пусть в некоторой фирме объем предложения некоторого блага Y зависит от цены и заработной платы сотрудников. Необходимо построить линейную регрессионную модель данного процесса. В результате получаем следующее уравнение регрессии:

Использованные источники 1. ebra/MatrixAndMatrixForm/ ebra/MatrixAndMatrixForm/ ebra/MatrixAndMatrixForm/ 2. e_matrix.html e_matrix.htmlhttp:// e_matrix.html 3. ix_method.html ix_method.htmlhttp:// ix_method.html 4. ekonomicheskih-zadach-matrichnym-metodom ekonomicheskih-zadach-matrichnym-metodomhttp://cyberleninka.ru/article/n/reshenie- ekonomicheskih-zadach-matrichnym-metodom 5. analizu/ analizu/ analizu/ 6. mnozhestvennoj-linejnoj-regressii-matrichnym- sposobom/ mnozhestvennoj-linejnoj-regressii-matrichnym- sposobom/ mnozhestvennoj-linejnoj-regressii-matrichnym- sposobom/