Дисциплина «Микроэлектроника» ТЕМА: «Математический аппарат цифровой микроэлектроники » Легостаев Николай Степанович, профессор кафедры «Промышленная электроника»

Понятие системы счисления. Позиционные системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Арифметические коды: прямой, обратный, дополнительный. Двоично-десятичные коды. Функции алгебры логики и их основные свойства: функция инверсии (функция «НЕ», логическое отрицание), функция «дизъюнкция» (функция «ИЛИ», логическое сложение), функция «конъюнкция» (функция «И», логическое умножение), функция «стрелка Пирса» (функция стрелка Пирса, функция «ИЛИ-НЕ»), функция «штрих Шеффера» (функция Шеффера, функция «И-НЕ»), функция «исключающее ИЛИ» (функция сложения по модулю 2). Основные законы алгебры логики: свойства дизъюнкции и конъюнкции, теорема поглощения, теорема склеивания, теорема де Моргана (теорема двойственности), теоремы одной переменной. Карты Карно трех и четырех переменных. Содержание

Позиционные системы счисления. Система счисления – совокупность ограниченного числа специальных символов и правил записи с их помощью численных значений и результатов арифметических операций над числами. Символы системы счисления называют цифрами. В позиционных системах счисления каждая цифра принимает различные значения в зависимости от местоположения (позиции) в записи числа. Количество p различных цифр, используемых в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Цифры системы счисления с основание p обозначают p целых чисел от 0 до.

Позиционные системы счисления. В общем случае в позиционной системе счисления с основанием p любое положительное число может быть представлено в виде полинома: где – цифры числа, – число разрядов (разрядность) числа. Относительная простота технической реализации элементов с двумя устойчивыми состояниями привела к тому, что в современной цифровой электронике доминирует представление чисел в двоичной системе счисления. В двоичной системе счисления : В восьмеричной системе счисления. В шестнадцатеричной системе счисления где

Позиционные системы счисления. Для перевода целого числа из произвольной системы счисления в десятичную его необходимо представить в виде полинома. Пример 1: Перевод числа B в десятичную систему счисления: Пример 2: Перевод числа 457Q в десятичную систему счисления: Пример 3: Перевод числа 3CH в десятичную систему счисления: Задание 1: представить число В в десятичной системе счисления. Задание 2: представить число 382Q в десятичной системе счисления. Задание 3: представить число 5AH в десятичной системе счисления.

Позиционные системы счисления. Решение задания 1: Решение задания 2: Решение задания 3:

Позиционные системы счисления. Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления нужно последовательно делить это число и получаемые частные от деления на основание новой системы до тех пор, пока частное от деления не станет меньше основания новой системы счисления. Старшей цифрой в записи числа в новой системе счисления служит последнее частное, а следующие за ней цифры определяются остатками от деления. Пример 4: Представить десятичное число 78 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Позиционные системы счисления. Пример перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления с использованием весов разрядов: Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную достаточно каждую цифру восьмеричного числа представить трехразрядным двоичным числом – двоичной триадой. При этом отбрасываются незначащие нули. Пример перевода числа 123Q в двоичную систему счисления:

Позиционные системы счисления. Перевод шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления осуществляется представлением каждой шестнадцатеричной цифры четырехразрядным двоичным числом – двоичной тетрадой. При этом отбрасываются незначащие нули. Пример перевода числа 3АH в двоичную систему счисления: Перевод двоичного числа в восьмеричную систему счисления – необходимо цифры числа, начиная с младшего разряда, разбить на триады, каждую из которых представить соответствующей цифрой восьмеричного числа. Пример перевода числа B в восьмеричную систему счисления: B = 255Q.

Позиционные системы счисления. Арифметические коды. Перевод двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления – необходимо цифры числа, начиная с младшего разряда, разбить на тетрады, каждую из которых представить соответствующей цифрой шестнадцатеричного числа. Пример перевода числа B в восьмеричную систему счисления: B = ADH. Основной арифметической операцией, технически реализуемой в цифровой электронике, является операция арифметического сложения. Для выполнения операции алгебраического сложения применяют специальные коды представления чисел со знаком: прямой, обратный и дополнительный. При этом один из разрядов разрядной сетки (чаще всего старший) предназначен для отображения знака числа, причем для положительных чисел в знаковом разряде устанавливается цифра 0, а для отрицательных – цифра 1. Прямой, обратный и дополнительный коды положительных чисел совпадают.

Арифметические коды. Арифметическое сложение чисел в двоичной системе счисления выполняется на основе правил двоичного суммирования в одном двоичном разряде: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10, 1+1+1=11, где двузначная сумма в последних двух случаях означает перенос в соседний старший разряд. Представление двоичного числа восемью разрядами : в восьмиразрядной сетке семь младших разрядов служат для представления модуля числа в виде семиразрядного двоичного кода, а старший разряд является знаковым. Пример представления десятичного числа (– 46) в прямом, обратном и дополнительном кодах. 1) Представляем модуль десятичного числа (–46) в виде семиразрядного двоичного кода: –46 10 =

Арифметические коды. 2) Так как число отрицательное, знаковый разряд принимает значение 1. В результате прямой код десятичного числа (–46) имеет вид: 3) Обратный код отрицательного числа формируется путем инвертирования всех разрядов прямого кода, кроме знакового: 4) При формировании дополнительного кода отрицательного числа инвертируются все разряды двоичного числа, кроме знакового, и прибавляется единица:

Арифметические коды. Перевод отрицательных чисел из дополнительного кода в прямой выполняется по тем же правилам, что и из прямого в дополнительный, то есть инвертируются все разряды числа, кроме знакового, и прибавляется единица. В двоично-десятичном коде 8 – 4 – 2 – 1 каждая цифра десятичного числа представляется соответствующей двоичной тетрадой. Пример представления числа в двоично-десятичном коде : Код удобен для перевода в цифровых устройствах чисел из десятичной системы в двоичную и обратно, поскольку, является естественным представлением десятичных чисел в двоичной системе.

Функции алгебры логики и их основные свойства. Алгебра логики (булева алгебра) является теоретической основой анализа и синтеза цифровых систем. Булевой функцией (БФ) называется функция, аргументами которой являются логические переменные, а сама функция, как и ее аргументы, может принимать только два значения: 1 или 0. Если булева функция зависит от L аргументов, то ее аргументы образуют логических (двоичных) наборов значений, которые нумеруются от 0 до. Булева функция от L аргументов может быть полностью задана таблицей, содержащей строк, в которых записываются все возможные двоичные наборы значений аргументов и указаны значения функции на каждом наборе. Такая таблица называется таблицей истинности (таблицей соответствия). Значения булевой функции могут быть заданы не на всех возможных наборах значений аргументов. Такие булевы функции называют не полностью определенными (частичными). Частичная булева функция может быть доопределена путем подстановки на место со знаком х 0 либо 1. Булевы функции от многих аргументов могут быть представлены в виде композиции булевых функций, то есть выражаться через более простые функции меньшего числа аргументов.

Функции алгебры логики и их основные свойства. Пример табличного задания функции Переменные в каждой строке таблицы истинности связаны между собой логической функцией «И», а строки между собой связаны логической функцией «ИЛИ».

Функции алгебры логики и их основные свойства. Задание 4: Укажите выражение булевой функции, заданное таблицей истинности. Задание 5: Представьте десятичное число (– 12) в прямом коде при 8-разрядной сетке.

Функции алгебры логики и их основные свойства. Решение задания 4: Укажите выражение булевой функции, заданное таблицей истинности. Правильный ответ: Решение задания 5: Представьте десятичное число (– 12) в прямом коде при 8-разрядной сетке.

Функции алгебры логики и их основные свойства. Алгебраические формы представления функций алгебры логики. Логические выражения, представляющие собой дизъюнкции отдельных членов, каждый из которых, в свою очередь, есть некоторая функция, содержащая только конъюнкции и инверсии, называются логическими выражениями дизъюнктивной формы. Дизъюнктивная форма представления булевой функции, в которой инверсия применяется лишь непосредственно к аргументам, но не к более сложным функциям от этих аргументов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) представления функции. Если каждый член дизъюнктивной нормальной формы булевой функции от L аргументов содержит все L аргументов, то такая форма представления называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) булевой функции. Логические выражения, представляющие собой конъюнкции отдельных членов, каждый из которых, в свою очередь, есть некоторая функция, содержащая только дизъюнкции и инверсии, называются логическими выражениями конъюнктивной формы. По аналогии с дизъюнктивными формами различают конъюнктивную нормальную форму (КНФ) и совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ).

Функции алгебры логики и их основные свойства. Булевы функции, имеющие наиболее важное практическое значение: функция «дизъюнкция» (функция «ИЛИ», логическое сложение), функция «конъюнкция» (функция «И», логическое умножение), функция инверсии (функция «НЕ», логическое отрицание), функция «стрелка Пирса» (функция стрелка Пирса, функция «ИЛИ-НЕ»), функция «штрих Шеффера» (функция Шеффера, функция «И-НЕ»), функция «исключающее ИЛИ» (функция сложения по модулю 2). Булева функция дизъюнкция (функция ИЛИ, логическое сложение) в общем случае может зависеть от L аргументов и обращается в нуль только в том случае, когда все аргументы равны нулю, и в единицу на всех остальных наборах аргументов. Запись дизъюнкции от L аргументов имеет вид: Булева функция конъюнкция (функция И, логическое умножение) в общем случае может зависеть от L аргументов и обращается в единицу только в том случае, когда все аргументы равны единице, и в нуль на всех остальных наборах аргументов. Запись конъюнкции от L аргументов имеет вид:

Функции алгебры логики и их основные свойства. Булева функция инверсии (функция «НЕ», логическое отрицание): Булева функция стрелка Пирса (функция Пирса, функция ИЛИ-НЕ) в общем случае может зависеть от L аргументов и обращается в единицу только в том случае, когда все аргументы равны нулю, и в нуль на всех остальных наборах аргументов. Запись функции Пирса от L аргументов имеет вид: Булева функция штрих Шеффера (функция Шеффера, функция И-НЕ) в общем случае может зависеть от L аргументов и обращается в нуль только в том случае, когда все аргументы равны единице, и в единицу на всех остальных наборах аргументов. Запись функции Шеффера от L аргументов имеет вид:

Функции алгебры логики и их основные свойства. Булева функция исключающее ИЛИ (функция сложения по модулю 2) в общем случае может зависеть от L аргументов и представляет собой логическую функцию, которая обращается в единицу, если нечетное количество аргументов принимает единичное значение, и в нуль, если единичное значение принимают четное количество аргументов. Запись функции исключающее ИЛИ от L аргументов имеет вид: Свойства дизъюнкции, конъюнкции и функции исключающее ИЛИ. 1. Ф ункции дизъюнкции и конъюнкции обладают свойством коммутативности:

Функции алгебры логики и их основные свойства. 2. Функции дизъюнкции и конъюнкции обладают свойством ассоциативности: что позволяет удалять скобки. 3. Конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции и относительно функции исключающее ИЛИ: что позволяет раскрывать скобки в более сложных булевых выражениях и выносить общий множитель за скобки. 4. Дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции:

Функции алгебры логики и их основные свойства. 5. Конъюнкция и дизъюнкция обладают свойством идемпотентности: откуда следует, что в булевых выражениях нет ни коэффициентов, ни степеней. Теорема де Моргана (теорема двойственности). Инверсия конъюнкции есть дизъюнкция инверсий: Инверсия дизъюнкции есть конъюнкция инверсий: Теорема де Моргана применима и к большему числу переменных: Примечание: Теорема де Моргана связывает три функции булевой алгебры – дизъюнкцию, конъюнкцию и инверсию.

Функции алгебры логики и их основные свойства. Теорема поглощения. дизъюнктивная форма, Доказательство теоремы поглощения: Доказательство теоремы склеивания: Теорема склеивания. дизъюнктивная форма, конъюнктивная форма.

Функции алгебры логики и их основные свойства. Теоремы одной переменной. Инвертирование сложных булевых выражений. Теорема де Моргана применима не только к отдельным конъюнкциям или дизъюнкциям, но и к более сложным выражениям. Пример: При инвертировании сложных булевых выражений можно руководствоваться правилом : чтобы найти инверсию, необходимо знаки умножения заменить знаками сложения, а знаки сложения – знаками умножения и поставить инверсии над каждой переменной (независимо от того, есть над переменными знаки отрицания или нет). Пример:

Карты Карно Под минимизацией функций алгебры логики понимают поиск алгебраического выражения булевой функции, которое содержит минимальное число символов логических переменных. Один из подходов к решению задачи минимизации булевых функций состоит в использовании карт Карно (Karnaugh). Карта Карно булевой функции трех переменных: Задание 7: Для карты Карно трех переменных укажите набор значений аргументов, отвечающий клетке с номером 5.

Карты Карно. Карта Карно булевой функции четырех переменных: Решение задания 7: Для карты Карно трех переменных укажите набор значений аргументов, отвечающий клетке с номером 5. Правильный ответ на решение задания 7: Задание 8: Для карты Карно четырех переменных укажите набор значений аргументов, отвечающий клетке с номером 13.

Карты Карно. Решение задания 8: Для карты Карно четырех переменных укажите набор значений аргументов, отвечающий клетке с номером 13. Правильный ответ на решение задания 8: Если функция представлена в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ), то нанесение ее на карту Карно сводится к отысканию клеток, за которыми закреплены номера соответствующих минтермов.

Карты Карно. Например, функции соответствует карта Карно Одно из достоинств карты Карно состоит в том, что на нее нетрудно нанести функцию, представленную не только в совершенной, но и в произвольной дизъюнктивной нормальной форме.

Вопросы для самоконтроля 1. Представьте десятичное число 38 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. 2. Представьте двоичный код чисел 123Q, 3АН. 3. Представьте двоичное число B в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. 4. Переведите числа B, 457Q, 3СН в десятичную систему счисления. 5. Представьте десятичные числа 85 и (–46) в прямом, обратном и дополнительном кодах при 8-разрядной сетке. 6. Укажите соотношения, в которых допущена ошибка:

Спасибо за внимание Вопросы и пожелания можно присылать через диспетчерский отдел ФДО. Тема следующего занятия « Цифровые микроэлектронные устройства комбинационного типа». Для подготовки к занятию изучите материал, представленный в разделе 4 учебного пособия по дисциплине «Микроэлектроника». Рекомендую изучение начать с логических элементов И, ИЛИ, НЕ, которые составляют булевый базис, а также с элементов И-НЕ, ИЛИ- НЕ, каждый из которых обладает функциональной полнотой. Изучите методику синтеза комбинационных цифровых устройств, а затем переходите к изучению дешифраторов, шифраторов, мультиплексоров и сумматоров. Постарайтесь запомнить условные графические обозначения цифровых микроэлектронных устройств комбинационного типа. Рекомендуемая литература 1. Легостаев Н.С. Микроэлектроника: учебное пособие / Н.С. Легостаев, К.В. Четвергов. – Томск: Эль Контент, – 172 с. ISBN Легостаев Н.С. Микроэлектроника: методические указания по изучению дисциплины / Н.С. Легостаев, К.В. Четвергов. – Томск: факультет дистанционного обучения, ТУСУР, – 90 с. 3. Легостаев Н.С. Микроэлектроника: слайды / Н.С. Легостаев, К.В. Четвергов. – Томск: факультет дистанционного обучения, ТУСУР, – 303 слайда.