Урок по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

«Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны без аналогий». «Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны без аналогий». Дьёрдь Пойа Дьёрдь Пойа

Устная задача Последовательность задана формулой а n =2n-1. Укажите первые пять ее членов. Укажите какое число стоит на 112 месте. Последовательность задана формулой а n =2n-1. Укажите первые пять ее членов. Укажите какое число стоит на 112 месте.

Исторические сведения Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях встречаются около 2-х тысяч лет до н.э. В древнеегипетских и древнегреческих папирусах есть задачи, решение которых сводится к этим прогрессиям. Слово «прогрессия» в переводе с латинского означает «движение вперед». Оно было введено римским автором Боэцием в IV веке. Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки. Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях встречаются около 2-х тысяч лет до н.э. В древнеегипетских и древнегреческих папирусах есть задачи, решение которых сводится к этим прогрессиям. Слово «прогрессия» в переводе с латинского означает «движение вперед». Оно было введено римским автором Боэцием в IV веке. Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Аналогия помогла в географии открыть в Якутии алмазные месторождения. Аналогия помогла в географии открыть в Якутии алмазные месторождения.

В химии - определить атомный вес еще не найденного элемента селена В химии - определить атомный вес еще не найденного элемента селена

В физике – модель атома была предложена Резерфордом как микроскопическая модель Солнечной системы В физике – модель атома была предложена Резерфордом как микроскопическая модель Солнечной системы

В биологии учитывая особенности зрительной системы лягушек, удалось сконструировать устройство, автоматически регулирующее полеты над аэродромом с учетом множества факторов В биологии учитывая особенности зрительной системы лягушек, удалось сконструировать устройство, автоматически регулирующее полеты над аэродромом с учетом множества факторов

Удачная аналогия всегда приносит удовлетворение уму, а чувству – удивление и восхищение красотой человеческой мысли. Удачная аналогия всегда приносит удовлетворение уму, а чувству – удивление и восхищение красотой человеческой мысли.

Устная задача В арифметической прогрессии первый член равен 5, а тридцатый Найдите сумму первых тридцати ее членов. В арифметической прогрессии первый член равен 5, а тридцатый Найдите сумму первых тридцати ее членов.

Задача 1 (история о знаменитом немецком математике Гауссе) Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. А вы сможете? Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. А вы сможете?

Задача 2 (задача из древнеегипетского папируса Ахмеса) «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры?» «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры?»

Задача 3 (задача из древнегреческого папируса) Имеется 7 домов в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер земли. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер земли. Имеется 7 домов в каждом доме по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер земли. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер земли.

Задача 4 (древняя индийская легенда) Изобретатель шахмат попросил за свое изобретение в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на 1 клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в 2 раза больше, т.е. два зерна и т.д. до 64 клетки. Его просьбу удовлетворить оказалось невозможно. Почему? Изобретатель шахмат попросил за свое изобретение в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на 1 клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в 2 раза больше, т.е. два зерна и т.д. до 64 клетки. Его просьбу удовлетворить оказалось невозможно. Почему?

Задача 5 Клиент взял в банке кредит а размере рублей на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму он должен вернуть в банк в конце срока, если условия погашения кредита таковы: Клиент взял в банке кредит а размере рублей на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму он должен вернуть в банк в конце срока, если условия погашения кредита таковы: а) проценты возвращаются в банк ежегодно; а) проценты возвращаются в банк ежегодно; б) весь кредит с процентами возвращается в банк в конце срока? б) весь кредит с процентами возвращается в банк в конце срока?

Задача 6 Выведите формулу для вычисления суммы: Выведите формулу для вычисления суммы: …+( n-1 )+n+( n-1)+… …+( n-1 )+n+( n-1)+…

Задача 7 (задача из папируса Ринда) Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому? Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение задачи 7 Очевидно, количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда: а 1 –Доля первого – x, а 1 –Доля первого – x, а 2 –Доля второго – x+y, а 2 –Доля второго – x+y, а 3 –Доля третьего – x+2y, а 3 –Доля третьего – x+2y, а 4 –Доля четвертого – x+3y, а 4 –Доля четвертого – x+3y, а 5 –Доля пятого – x+4 у. а 5 –Доля пятого – x+4 у. На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения: На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:

Решение задачи 7 На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения: Решив эту систему, имеем: Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части:

Задача 8 Владелец ваучера вложил его в «Нефть – алмаз – инвест»,т.е. обменял его на 10 акций, стоимостью 1000 рублей каждая. «Нефть - алмаз- инвест» гарантирует 75% годовых. Какую сумму получит держатель акций через два года? Владелец ваучера вложил его в «Нефть – алмаз – инвест»,т.е. обменял его на 10 акций, стоимостью 1000 рублей каждая. «Нефть - алмаз- инвест» гарантирует 75% годовых. Какую сумму получит держатель акций через два года?

Урок сегодня завершён, Дружней вас не сыскать. Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут.

Спасибо за урок!