Каникулярная школа курс Теория вероятностей Кузнецова Ольга Владимировна

2 Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики. Задача 1: Сколько двузначных чисел можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? В данном случае легко перебрать все комбинации вариантов

3 Задача 2: Сколько пятизначных можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен. Решим задачу иначе. На первом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На втором месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На третьем месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На четвертом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На пятом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. Комбинаторное правило умножения

4 Задачи открытого банка. Классическое определение вероятности.

В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин? Решение: Возможные комбинации пар из 5 человек (1,2,3,4,5) Всего - 10 У каждого 4 шанса Р=4/10=0,4 Ответ:0,4

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры А- «Статор» начинает игру Решение: В- начинает игру другая команда «Статор» играет с тремя командами Возможные комбинации: ААА ААВ АВА ВАА АВВ ВВА ВАВ ВВВ Всего - 8 Благоприятное - 1 Ответ:0,125

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D Благоприятное событие А – паук пришел к выходу D. Одно. Решение: На пути три развилки по два варианта 2·2·2*2=16 Ответ:0,62 5

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта Решение: - всего рейсов. Попасть на первый рейс (равно как и на второй и на любой имеющийся) – один шанс из пяти. Ответ:0,2

На рок-фестивале выступают группы по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых Решение: Возможные комбинации (независимо от количества групп): ДШН ДНШ ШДН ШНД НДШ НШД 6 - вариантов Благоприятных - 2 Ответ:0,33

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм Решение: А – диаметр не больше 66,99 и не меньше 67,1 Диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм – противоположное событие Р(А) =0,965 Ответ:0,035

На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории Решение: Только 10 из 250 участников имеют шанс попасть в запасную аудиторию. - участников не попали в первые две аудитории Ответ:0,04

12 Теорема сложения вероятностей Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Событие А Событие B

13 Действия над событиями 1. Суммой нескольких событий называется событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.(, ) Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе. Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить А или В, тогда + заменяется словом «или»..

Действия над событиями 2. Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. ( ). Означает союз «и» (АВС, это означает, что наступило событие А и В и С). Пример. Пусть имеются следующие события: А – «из колоды карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А*В означает «вынута дама пик». Пример. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: А – « число выпавших очков 2», С – «число выпавших очков четное». Тогда А*В*С – «выпало 4 очка».

Диаграммы Венна Графические изображения на плоскости соотношений между множествами называются диаграммами Венна.

Пример Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий. 1. А – учитель вызвал к доске ученика, В – учитель вызвал к доске ученицу, А+В – учитель вызвал к доске ученика или ученицу. 2. Родила царица в ночь: А – не то сына, В – не то дочь А+В – царица родила сына или дочь.

Примеры произведения событий: пусть А - из урны вытянули белый шар, В - из урны вытянули белый шар, то АВ - из урны вытянули два белых шара; А - идет дождь, В - идет снег, то АВ - дождь со снегом; А - число четное, В - число кратное 3, то АВ - число кратное 6.

Для несовместных событий Для совместных событий Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. Теорема сложения вероятностей А В В С А

Теорема умножения вероятностей. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события. Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А) Р(А 1 А 2 А 3... А n ) = Р(А 1 ) Р(А 2 /А 1 ) Р(А 3 /А 1 А 2 ) … Р(А n /А 1 А 2 А 3... А n-1 ).

20 Задачи открытого банка. Сумма несовместных событий.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей 1 очко, если проигрывает 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0, Решение: События «ничья», «выиграла», «проиграла» составляют полную группу. =>Р(ничья)=1-Р(выиграла)-Р(проиграла)=1-0,4-0,4=0,2

Решение: Условию удовлетворяют три независимых события: А – команда выиграла в первой и во второй игре. Р(А)=0,40,4=0,16 В – команда выиграла в первой игре и во второй сыграла вничью. Р(В)=0,20,4=0,08 С – команда выиграла во второй игре и в первой сыграла вничью Р(С)= 0,20,4=0,08 Ответ:0,32 А, В, С -несовместны Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей 1 очко, если проигрывает 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем Решение: Событие А – вопрос на тему «Вписанная окружность» Событие В – вопрос на тему «Параллелограмм» События А и В – несовместны. (Если достался первый, то не достался второй.) Ответ:0,35

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до Решение: Ответ:0,38 В=А+СА и С - несовместны

Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач Решение: Ответ:0,07 С=А+ВА и В - несовместны

26 Практикум Ответ 0,18 Ответ 0,064

27 Ответ 0,99 Ответ 0,02

28 Ответ 0,0625