Лекция 5 Взаимнойе положение поверхности и плоскости. Пересечение поверхности плоскостью. Пересечение поверхностей Казанский государственный энергетический университет Лектор: доцент Смирнова Л.А.

Форму деталей часто образуют срезом или вырезом части Форму деталей часто образуют срезом или вырезом части материала плоскостями из исходных тел (заготовок), ограниченных криволинейными поверхностями. При этом возникает необходимость построения на чертеже проекций линии пересечения поверхности с плоскостью. Такие же линии ст- роят на чертежах деталей, поверхности которых ограничены пересекающимися между собой участками плоскости и поверхности. Сложность решения задачи, по определению линии пере- Сложность решения задачи, по определению линии пере- сечения поверхности плоскостью существенно меняется в зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций. Для построения линии пересечения линейчатой поверх- Для построения линии пересечения линейчатой поверхности плоскостью в общем случае строят точки пересечения прямолинейных образующих поверхности с секущей плоскостью, т.е. находят точки пересечения прямой с плоскостью. Искомую кривую проводят через эти точки. Пересечение поверхности плоскостью. Общие приемы построения линии пересечения

Наиболее простым предоставляется случай, когда плоскость проецирующая. Наиболее простым предоставляется случай, когда плоскость проецирующая. Ниже рассматриваются примеры построения цилиндра- Ниже рассматриваются примеры построения цилиндра- ческих и конических сечений проецирующими плоскостями. Пересечение поверхностей вращения проецирующими плоскостями Цилиндрические сечения Вид линии, образованной при пересечении плоскостью прямого кругового цилиндра, определяется положением секущей плоскости относительно оси : Вид линии, образованной при пересечении плоскостью прямого кругового цилиндра, определяется положением секущей плоскости относительно оси : секущая плоскость, расположенная параллельно образующей цилиндра, пересекает его по прямым линиям (образующим); секущая плоскость, расположенная параллельно образующей цилиндра, пересекает его по прямым линиям (образующим); секущая плоскость, расположенная перпендикулярно оси секущая плоскость, расположенная перпендикулярно оси пересекает цилиндр по окружности; секущая плоскость, расположенная под некоторым углом секущая плоскость, расположенная под некоторым углом отличным от 90 относительно оси, пересекает цилиндр по отличным от 90 относительно оси, пересекает цилиндр по эллипсу.

Конические сечения - линия пересечения кругового ко- Конические сечения - линия пересечения кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. Конические сечения могут быть трех типов: секущая плоскость пересекает все образующие конуса, линией пересечения является эллипс, в частности, когда плоскость перпендикулярна оси конуса - окружность; секущая плоскость пересекает все образующие конуса, линией пересечения является эллипс, в частности, когда плоскость перпендикулярна оси конуса - окружность; секущая плоскость параллельна одной из образующих поверхности конуса. Линией пересечения является парабол- секущая плоскость параллельна одной из образующих поверхности конуса. Линией пересечения является парабол- ла. В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую; секущая плоскость параллельная двум образующим кону- са, линией пересечения является гипербола. В случае про- хождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые. секущая плоскость параллельная двум образующим кону- са, линией пересечения является гипербола. В случае про- хождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые. С точки зрения аналитической геометрии конические С точки зрения аналитической геометрии конические сечения это линии 2-ого порядка; они выражаются в прямо- угольных координатах уравнениями 2-ой степени. Пересечение конической поверхности плоскостью

Для определения проекции линии сечения следует найти проекции точек, принадлежащих этой линии в следующем порядке: 1) проекции опорных точек – точек расположенных на очерковых образующих поверхности (эти точки определяют границы видимости проекции кривой); 2) проекции экстремальных точек, удаленных на минимальные и максимальные расстояния от плоскостей проекций; 3) проекции произвольных точек ли- нии сечения.

Примеры построения линии пересечения поверхностей проецирующими плоскостями 1. Цилиндрические сечения

Взаимнойе пересечение поверхностей Взаимнойе пересечение поверхностей одна из самых Взаимнойе пересечение поверхностей одна из самых распространенных задач, решаемых при конструировании изделий. Для графического решения таких задач на комплексном чертеже используется метод вспомогательных секущих поверхностей-посредников. Линией пересечения двух поверхностей является мной- Линией пересечения двух поверхностей является мной- жество точек, общих для данных поверхностей. Из этого мнойжества выделяют: очерковые или главные точки, с которых следует начи- очерковые или главные точки, с которых следует начинать построение линии пересечения. Эти точки позволяют увидеть, в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих поверхностей для определения остальных точек; экстремальные точки верхняя и нижняя точки относи- экстремальные точки верхняя и нижняя точки относительно той или иной плоскости проекций;

точки границы зоны видимости. точки границы зоны видимости. Алгоритм построения линии пересечения поверхностей: 1. Вводится вспомогательная поверхность, которая подбирается таким образом, чтобы линия пересечения была проста для построения – прямые и окружности. 2. Строится линия пересечения вспомогательной поверхности Г1 с заданными и, Г = m1, Г1 =n1. 3. Определяются точки пересечения полученных линий, m1 n1 = K1, L1.

4. Для более точного построения искомой линии пересечения описанные выше действия повторяются. 4. Для более точного построения искомой линии пересечения описанные выше действия повторяются. 5. Полученные точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей, соединяются в нужной последовательности. 5. Полученные точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей, соединяются в нужной последовательности. 6. Определяется видимость. 6. Определяется видимость. Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода - метод секущих плоскостей и метод секущих сфер. Выбор того или иного метода определяется взаимным положением поверхностей Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода - метод секущих плоскостей и метод секущих сфер. Выбор того или иного метода определяется взаимным положением поверхностей и их положением относительно плоскостей проекций.

Метод вспомогательных секущих плоскостей Этот метод рекомендуется применять, если сечения задан- Этот метод рекомендуется применять, если сечения заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями. В качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают плоскости уровня. Рассмотрим использование этого метода на следующих примерах. Рассмотрим использование этого метода на следующих примерах. Задача 1 (частный случай). Задача 1 (частный случай). Рассмотрим построение линии пересечения прямого кру- Рассмотрим построение линии пересечения прямого кругового цилиндра со сферической поверхностью. Решение: Решение: Линейчатые каркасы заданных поверхностей принадле- лежат общим плоскостям уровня, воспользуемся методом секущих плоскостей. Линейчатые каркасы заданных поверхностей принадле- лежат общим плоскостям уровня, воспользуемся методом секущих плоскостей. Цилиндрическая поверхность занимает горизонтально проецирующее положение. В случае, если одна из поверх- Цилиндрическая поверхность занимает горизонтально проецирующее положение. В случае, если одна из поверхностей занимает частное положение, построение линии пересечения выполняется по отношению к не проецирую- щей поверхности, в данном случае к сферической.

1. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией очерка цилиндраческой поверхности. 1. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией очерка цилиндраческой поверхности. Построение фронтальной проекции линии пересечения Построение фронтальной проекции линии пересечения начнем с построения очерковых точек 1 и 2, для чего про- ведем фронтальную плоскость уровня 1 через эти точки. Построим фронтальную проекцию линии пересечения плоскость уровня 1 с заданными поверхностями, после чего по- строим фронтальные проекции очерковых точек 1 и Аналогичным образом выполним построение экстремальных (высшей и низшей) точек 3 и 4, принадлежащих линии пересечения поверхностей. 2. Аналогичным образом выполним построение экстремальных (высшей и низшей) точек 3 и 4, принадлежащих линии пересечения поверхностей. 3. Для уточнения формы линии пересечения поверхностей вводятся плоскости уровня 4 и Для уточнения формы линии пересечения поверхностей вводятся плоскости уровня 4 и Соединим точки в нужной последовательности. Определяем видимость линии пересечения поверхностей. 4. Соединим точки в нужной последовательности. Определяем видимость линии пересечения поверхностей.