Число е. Функция y = e x, её свойства, график, дифференцирование Рассмотрим показательную функцию y = а x, где а > 1. Для различных оснований а получаем различные графики:

Заметим, что: Все графики проходят через точку (0 ; 1) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0 при х Все они обращены выпуклостью вниз Все они имеют касательные во всех своих точках

С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35 до 66,5. Следовательно существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45. При а = 2 угол равен 35, при а = 3 он равен 48. Следовательно данное значение а заключено между 2 и 3. В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е. Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь: е = 2, … ; На практике обычно полагают, что е 2,7.

График и свойства функции y = е x : 1) D (f) = ( -; + ); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) возрастает; 4) не ограничена сверху, ограничена снизу 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 6) непрерывна; 7) E (f) = ( 0; + ); 8) выпукла вниз; 9) дифференцируема.

Выведем формулу для отыскания производной функции y = е x 1) Нам известно, что f (0) = tg 45 = 1 2) Рассмотрим функцию у = g (х), где g (х) = f (х-а), т. е. g (х) = e x-а. Исходя из построенных графиков можно заметить, что касательная к графику у = g (х) в точке х = а параллельна касательной к графику у = g (х) в точке х = 0. Значит, она образует с осью х угол в 45. Следовательно, g (а) = tg 45 = 1 3) Имеем f (х) = e x = e а e x-а = e а g (х) Значит, f (а) = e а g (а). Но g (а) = 1, значит, f (а) = e а. 4) ( e x ) = e x

Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование Если основанием логарифма служит число е, то говорят, что задан натуральный логарифм. Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный). Используя известные соотношения для логарифмов, запишем ряд соотношений для натуральных логарифмов: ln 1 = 0 ln е = 1 ln е r = r e ln x = x log a x = ln x/ln a

Свойства функции y = ln x: 1) D (f) = ( 0; +); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) возрастает на ( 0; +); 4) не ограничена; 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7) Е (f) = ( -; + ); 8) выпукла верх; 9) дифференцируема. График и свойства функции y = ln x

Дифференцируемость, формулы дифференцирования любой показательной и любой логарифмической функции (ln x) = 1/x, где x > 0; ( a x ) = a x ln a, где a > 0; ( log a x ) = 1/x ln a, где а > 0, а 1.