Олимпиадная подготовка по математике для учеников 5-6 классов Главное в олимпиадах – не побеждать в них, и даже не участвовать в них. Главное – к ним готовиться! Не только готовим к олимпиадам, но и развиваем навыки, ключевые с точки зрения математического развития ребёнка.

Логический перебор (Путь к Олимпу, Омск – 2014) На доске в ряд написано четыре числа. Первые три числа двузначные, последнее число 5, и каждое, кроме первого, равно произведению цифр предыдущего. Какое число написано первым? Найдите все варианты ответа и докажите, что другие невозможны.

Логический перебор Ответ: 75 или 57. Решение. Число 5 можно получить только перемножением 1 и 5. Поэтому предпоследнее число в ряду – либо 15, либо 51. Но число 51 нельзя представить в виде произведения двух цифр, а можно только получить как 3×17 или 1×51. Поэтому предпоследнее число в ряду обязательно 15. Значит, перед ним стоит либо число 35, либо число 53. Но 53 также нельзя представить в виде произведения двух цифр. Остаётся 35. Но 35=5×7. Поэтому первое число – либо 57, либо 75. Вторая идея: анализ с конца.

Логический перебор (Олимпиада им. Г.П Кукина, Омск – 2009) В пятом классе учатся три девочки: Ира, Галя и Наташа. Одна из них самая умная, и она всегда говорит правду. Другая самая красивая, и она всегда лжет. А третья девочка самая хитрая: она иногда лжет, а иногда говорит правду. Ира сказала: «Я красивее Гали». Галя сказала: «Я умнее Наташи». Наташа сказала: «Я хитрее Иры». Какая из девочек самая красивая?

Логический перебор Ответ: Наташа самая красивая. Решение. Ира не может быть самой красивой, потому что иначе ее фраза верная, а она обязана лгать. Значит, возможны два варианта: Ира самая умная или самая хитрая. Если Ира самая умная, то она сказала правду, и Галя не может быть самой красивой. Тогда самая красивая – Наташа. Если же Ира самая хитрая, то высказывание Наташи ложно, и Наташа может быть только самой красивой. Итак, в любом случае Наташа самая красивая.

Арифметическое моделирование Увидеть процесс, ввести основные численные характеристики и «просчитать» его. (Олимпиада им. Г.П Кукина, Омск – 2009) На уроки танцев ходят 90 школьников, среди которых есть мальчики и девочки. Учитель разбил их на группы по 3 человека. В каждой из групп каждый школьник станцевал с каждым по разу, а школьники из разных групп между собой не танцевали. Оказалось, что было ровно 22 танца, в которых мальчик танцевал с мальчиком и ровно 38 танцев, в которых девочка танцевала с девочкой. Сколько было «смешанных» групп, в которые входили и мальчики, и девочки?

Арифметическое моделирование Ответ: 15 «смешанных». Решение. Всего было 30 групп и в каждой группе было 3 танца. Значит, всего было 90 танцев. При этом «смешанных» танцев, в которых танцевали девочка и мальчик, было 90–22–38=30. Но в каждой «смешанной» группе было по 2 «смешанных» танца. Значит, «смешанных» групп было 15.

Арифметическое моделирование (Олимпиада им. Г.П Кукина, Омск – 2011) По траве вереницей вплотную друг за другом ползут сороконожки. Длина каждой сороконожки 10 сантиметров. В сороконожки подползли к дорожке длиной 1 метр. Как только сороконожка поставит все 40 ножек на дорожку, она начинает ползти со скоростью 15 см/сек, а пока хотя бы одна её ножка на травке, она ползёт в 3 раза медленнее. Ровно в последняя сороконожка сползла с дорожки и поставила свою последнюю ножку на травку. Сколько было сороконожек?

Арифметическое моделирование Ответ: 26. Решение. 1) Для начала заметим, что каждая сороконожка, дойдя до дорожки, заползает на нее 2 сек, и 2 сек ей требуется чтобы полностью сползти с дорожки на траву. Кроме того, по самой дорожке она бежит 90 см и пробегает их за 6 сек. 2) Будем следить за последней сороконожкой. Поскольку ей потребовалось 10 сек от начала дорожки и до самого конца путешествия, то по траве она бежала 50 сек и пробежала 250 см. Значит, в перед ней стояли 25 сороконожек, а всего их было 26.

Устная алгебра Учимся работать с абстрактными величинами. (Путь к Олимпу, Омск – 2011) В 1001 году на багдадском базаре ковер-самолет стоил 1 динар, а в 1100 году такой же ковер- самолет стоил 152 динара. Известно, что каждый год, кроме одного, он дорожал на 1 динар, а в один год он подорожал в 2 раза. В каком году произошло такое большое подорожание?

Устная алгебра Ответ: в 1054 году. Решение. Если бы ковёр-самолёт дорожал каждый год на 1 динар, то в 1100 году он стоил бы 100 динаров. Значит, в год большого подорожания его стоимость увеличилась не на 1, а на 53 динара. Это означает, что в предшествующий год она составляла как раз 53 динара. То есть, году подорожания предшествовал 1053 год, а годом подорожания был 1054 год.

Устная алгебра (Олимпиада им. Г.П Кукина, Омск – 2009) Чтобы построить поросячий домик, Ниф- Нифу не хватало 300 кирпичей, Нуф-Нуфу не хватало 200 кирпичей, а Наф-Нафу не хватало всего 100 кирпичей. Когда они сложили все свои кирпичи вместе, оказалось, что они могут построить только один домик на троих, и кирпичей больше не останется. Сколько кирпичей нужно для одного поросячьего домика?

Устная алгебра Ответ: 300 кирпичей. Решение. Ниф-Нифу, Нуф-Нуфу и Наф-Нафу вместе не хватает 600 кирпичей, чтобы построить 3 домика, а не один. Значит, на 2 домика понадобилось бы как раз 600 кирпичей. А значит, один поросячий домик строится из 300 кирпичей.

Устная алгебра (Олимпиада им. Г.П Кукина, Омск – 2009) Землемер Костя вбил в землю вдоль одной прямой по порядку слева направо три колышка: сперва красный, потом синий, потом зелёный. Он связал красный и синий колышек, а потом красный и зелёный колышек, затратив на это всего 5 метров верёвки. Затем он сдвинул синий и зелёный колышек на 1 метр влево и снова привязал каждый из них к красному. На этот раз ушло 4 метра верёвки. Сколько метров верёвки уйдёт на эту конструкцию, если он ещё раз сдвинет синий и зелёный колышек на 1 метр влево?

Устная алгебра Ответ: 4 метра. Решение. Начальная конфигурация: Красный – Синий – Зелёный Конфигурация после первого передвижение: Синий – Красный – Зеленый. Начальные расстояния от красного колышка до синего и зеленого обозначим через С и З соответственно. Тогда С+З=5, С 4. Действительно, если С>1, то во второй раз понадобится 3 метра веревки. После второго передвижения порядок сохранится, ибо расстояние от красного до зеленого все еще больше 3 метров. Откуда и заключаем, что понадобится опять 4 метра веревки. Вторая составляющая: геометрическое воображение.

Для юных математиков Грант Российского союза молодежи «Олимпиадная подготовка по математике» для учеников 5-7 классов. В дистанционных занятиях принимают участие 150 школьников, показавших наиболее высокие результаты в конкурсе «ПОНИ® в мире знаков». Занятия ведут не только омские педагоги, но и специалисты из различных регионов России. Зимняя гуманитарно-математическая школа в новогодние каникулы: программы олимпиадной подготовки для учеников 5-6 классов. Устная математическая олимпиада им. Г.П. Кукина для учеников 5- 7 классов, 30 января 2016 г., регистрация на сайте imit.omsu.ru Летняя школа «Математика у моря» (июль, Болгария) До новых встреч!