Нестандартные приемы решения уравнений, неравенств АКИПКРО

Применение области определения функций Применение свойства монотонности функций Использование свойства четности функций Использование множества значений функций Применение метода мажорант (метода ограниченности функций) Использование неотрицательности функций Применение графического метода Применение производной функции 2

План 1)Применение монотонности функций 2)Использование множества значений функций 3)Применение метода мажорант (метода ограниченности функций) 4)Использование неотрицательности функций 3

1. Применение свойства монотонности функций 4

Вопросы: В каких задачных ситуациях при решении уравнений и неравенств целесообразно использовать монотонность функций? Какие трудности могут возникнуть у учащихся в таких ситуациях? Какие математические сведения необходимы учащимся для освоения способа решения уравнений и неравенств с помощью монотонности функций? 5

Как Вы думаете, каковы Ваши точки роста будут в ходе работы над темой «Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств»? Зафиксируйте планируемые точки роста, заполнив столбцы таблицы, выделенные курсивом: Нестандартные приемы решения уравнений и неравенств Самооценка имеющегося уровня владения приемом Что узнаю, чем овладею Что узнал, чем овладел Над чем предстоит работать низкий достаточный высокий 1Использование монотонности функций 6

Задание 1. С целью обобщения теоретического материала, необходимого для решения уравнений и неравенств с использованием монотонности функций, заполните таблицу: Словесная формулировка определения, свойств монотонных функций Символьная запись 1. 7

Проверка задания 8

9

10

Проверка задания 11

Проверка задания 12

Утверждения, используемые для решения уравнений и неравенств 13

Графическая интерпретация утверждений 1, 2 14

15

Тест по теме «Монотонность функций» 16

1)Промежутки, на которых функция возрастает: … Ответ:, где n Z 17

2) Возрастающие на своей области определения функции: а) б) в) г) 18

3) Убывающие на своей области определения функции: а) б) в) г) 19

4) Монотонность функции на промежутке – … Ответ: убывает. 20

5) Монотонность функции на своей области определения –… Ответ: возрастает. 21

6) Промежутки, на которых функция возрастает: а) б) в) 22

7) Функция убывает на промежутках: а) б) в) 23

Практические задания 24

Решение Область определения данного уравнения: х>0. Пусть. Исследуем их на монотонность. – убывающая функция, т.к. это логарифм-я функция с основанием больше нуля, но меньше единицы. – возрастающая функция, т.к. это линейная функция с положительным коэффициентом при х. х = 3 является корнем данного уравнения, по утверждению 1 он будет единственным. Ответ: Решите уравнение. Ознакомьтесь с решением уравнения. Составьте план решения задания. Какие обобщения можно сделать с учащимися по окончании решения задания? 25

План решения: 1)Найти область определения уравнения. 2)Ввести функции и определить монотонность каждой функции на области определения уравнения. 3)Найти корень уравнения и, воспользовавшись соответствующим утверждением, аргументировать его единственность, или обосновать, что уравнение корней не имеет. 26

Решение 1)Пусть и. 2) Функция f(х) возрастающая как …. Функция g(х) убывает при всех значениях как …. 3) х=2 – единственный корень данного уравнения в силу …. Ответ: Решите уравнение. Восстановите пропущенные шаги решения данного уравнения. Выберите приемы мотивации учащихся к выполнению данного задания или предложите свои (создание проблемной ситуации; подчеркивание важности умения решать такие уравнения для успешной сдачи экзамена; акцентирование внимания на значимости решения таких уравнений с целью совершенствования умений решать уравнения и неравенства нестандартными приемами). Какие трудности могут испытывать учащиеся при выполнении задания? Как предупредить возможные трудности? сумма трех возрастающих и постоянной функции. композиция убывающей и возрастающей функций. утверждения 1. 27

Решение 1) В левой и правой частях уравнения – возрастающие функции, поэтому воспользоваться утверждением нельзя. 2) Выполним преобразование уравнения: перенесем в левую часть уравнения, умножим и разделим левую часть уравнения на сопряженное выражение. Получим уравнение. 3) – убывающая функция (*), – возрастающая на области определения уравнения (*). Исходное уравнение имеет не более одного корня (*). 4) х = -2 – единственный корень уравнения (*). Ответ: Решите уравнение. Ознакомьтесь с решением уравнения. Объясните, на каком основании выполнены шаги решения, отмеченные символом (*). Какие трудности могут испытывать учащиеся при выполнении задания? Как предупредить возможные трудности? 28

Решение 1)Пусть и. Область определения неравенства: [1; 3]. 2) f(x) – возрастающая на [1; 3] функция, как сумма двух возрастающих функций; g(x) – убывающая на [1; 3] функция, как сумма постоянной и убывающей функции. 3) Рассмотрим уравнение f(x)= g(x). Найдем корни данного уравнения. х = 2 – корень уравнения f(x)= g(x), по утв. 1 он единственный. 4) Учитывая, что: а) f(x)> g(x),б) f(2)= g(2), в) f(x) – возрастает, а g(x) – убывает на [1; 3], получаем: исходное неравенство будет выполняться с учетом области определения при всех. Ответ: (2; 3]. 4. Решите неравенство Ознакомьтесь с решением неравенства. Какие трудности могут испытывать учащиеся при выполнении задания? Как предупредить возможные трудности? Как организовать самоконтроль и самооценку при решении неравенства? 29

Заполните оставшиеся два столбца в таблице, ответив на вопросы Что узнал? Чем овладел? Над чем предстоит работать? Нестандартные приемы решения уравнений и неравенств Самооценка имеющегося уровня владения приемом Что узнаю, чем овладею Что узнал, чем овладел Над чем предстоит работать низкий достаточный высокий 1Использование монотонности функций 30

2. Использование множества значений функций 31

Вопросы: В каких задачных ситуациях целесообразно использовать множество значений функций при решении уравнений и неравенств? Какие трудности могут возникнуть у учащихся в таких ситуациях? Какие математические сведения необходимы учащимся для освоения способа решения уравнений и неравенств с помощью множества значений функций? 32

Как Вы думаете, каковы Ваши точки роста будут в ходе работы над темой «Использование множества значений функций при решении уравнений и неравенств»? Зафиксируйте планируемые точки роста, заполнив столбцы таблицы, выделенные курсивом: Нестандартные приемы решения уравнений и неравенств Самооценка имеющегося уровня владения приемом Что узнаю, чем овладею Что узнал, чем овладел Над чем предстоит работать низкий достаточный высокий 2Использование множества значений функций 33

Задание 1. С целью обобщения свойств, применяемых для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции, на которых основаны элементарные приемы нахождения множества значений функции, заполните пропуски. 34

> < наим. наибольшее наим. наибольшее 35

36

37

Способы нахождения Е(f) выделение квадрата двучлена в выражении применение производной функции построение графика выражение х через у исходное множество значений элементарной функции нахождение D(у) … как решение задачи с параметром использование свойств числовых неравенств 38

Свойства числовых неравенств 39 Свойство Словесная формулировка 1) Если a > b, то a + c > b + c; или если a < b, то a + c < b + c. Можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям неравенства. 2) Если a > b и c > d, то a + c > b + d. Неравенства одного смысла (с одинаковым знаком > или <) можно почленноее складывать. 3) Если a > b и c b – d ; или если a d, то a – c < b – d. Неравенства противоположного смысла можно почленноее вычитать одно из другого, и брать знак неравенства, являющегося уменьшаемым. 4) Если a > b и m > 0, то ma > mb и. Обе части неравенства можно умножать или делить на одно и то же положительное число; неравенство при этом сохраняет свой знак. 5) Если a > b и m < 0, то ma < mb и. Обе части неравенства можно умножать или делить на одно и то же отрицательное число; неравенство при этом меняет свой знак на противоположный. 6) Если а> 0 и b > 0 и а>b, то. Если обе части неравенства – положительные числа, то из неравенства а>b следует неравенство противоположного смысла. 7) Если а 0 и b 0 и а>b, то, где. Если обе части неравенства – неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Тест по теме «Множество значений функций» 40

1)Наименьшее значение функции … 1) – 5 2) – 11 3) – 2 4) – 8 41

2) Наименьшее значение функции равно … Ответ: ¾. 42

3) Множество значений функции … 43

4) Множество значений функции … 44

5) Множество значений функции … Ответ:. 45

6) Из данных чисел выберите наименьшее, принадлежащее множеству значений функции 46

7) Множество значений функции … Ответ:. 47

8) Множество значений функции … Ответ:. 48

9) Множество значений функции … Ответ:. 49

10) Множество значений функции … Ответ:. 50

11) Множество значений функции … Ответ:. 51

Практические задания 52

Решение 1)Оценим под логарифмическое выражение: (*) Выражение принимает наименьшее значение при х = 1 (*), значит, принимает наибольшее значение при х = 1 (*). Таким образом, (*), т.е. наибольшее значение равно 2. 2) Так как функция вида при всех t из области определения убывает, то – наименьшее значение для у (*). Следовательно,. Ответ:. 1. Найдите E(y), где. Ознакомьтесь с решением уравнения. Объясните, на каком основании выполнен определенный шаг решения, отмеченный символом (*). Какие трудности могут испытывать учащиеся при выполнении задания? Как предупредить возможные трудности? Какие обобщения можно сделать с учащимися по окончании решения задания? 53

Решение 1)Приведем функцию к другому виду: 1)Наименьшее значение положительной функции равно при, значит, принимает наибольшее значение, равное (св-ва). Следовательно, принимает наибольшее значение. 2. Найдите E(y), где Ознакомьтесь с решением. Выберите приемы мотивации учащихся к выполнению данного задания или предложите свои (создание проблемной ситуации; подчеркивание важности умения решать такие задания для успешной сдачи экзамена; акцентирование внимания на значимости решения таких задач с целью совершенствования умений решать уравнения и неравенства нестандартными приемами). Какие трудности могут испытывать учащиеся при выполнении задания? Как предупредить возможные трудности? Какие обобщения можно сделать с учащимися по окончании решения задания? 54

Решение (продолжение) 3) Так как данная функция имеет вид, то необходимо исследовать ее на наличие наименьшего значения. Учитывая, что при х, имеем:, у>1. Таким образом, из 2), 3) следует, что. Ответ:. Найдите E(y), где. 55

Решение 1) Рассмотрим функции 2) 3) По утверждению 2 решений иметь не будет, а корни уравнения по утверждению 1 находятся из системы уравнений: Подставив х=1 во второе уравнение, убеждаемся, что 1 – корень этого уравнения, а, значит, система имеет единств. решение х=1. Вывод: исходное неравенство имеет единственное решение х=1. Ответ: Решите неравенство. Ознакомьтесь с решением. Какие трудности могут испытывать учащиеся при выполнении задания? Как предупредить возможные трудности? Какие обобщения можно сделать с учащимися по окончании решения задания? 56

Заполните оставшиеся два столбца в таблице, ответив на вопросы Что узнал? Чем овладел? Над чем предстоит работать? Нестандартные приемы решения уравнений и неравенств Самооценка имеющегося уровня владения приемом Что узнаю, чем овладею Что узнал, чем овладел Над чем предстоит работать низкий достаточный высокий 1Использование множество значений функций 57

3. Применение метода мажорант (метода ограниченности) 58

Вопросы: В каких задачных ситуациях при решении уравнений и неравенств целесообразно использовать ограниченность функций? Какие трудности могут возникнуть у учащихся в таких ситуациях? Какие математические сведения необходимы учащимся для освоения способа решения уравнений и неравенств с использованием свойства ограниченности функций? 59

Как Вы думаете, каковы Ваши точки роста будут в ходе работы над темой «Метод мажорант (использование ограниченности функций)»? Зафиксируйте планируемые точки роста, заполнив столбцы таблицы, выделенные курсивом: Нестандартные приемы решения уравнений и неравенств Самооценка имеющегося уровня владения приемом Что узнаю, чем овладею Что узнал, чем овладел Над чем предстоит работать низкий достаточный высокий 3Использование ограниченности функций 60

Мажорантой данной функции f(x) на множестве Р называется такое число М, что либо f(x) М, либо f(x) М для любых х из множества Р. 61

Основная идея метода мажорант: пусть имеется уравнение f(x)=g(x) и существует такое число М, что для любых х из множестваD(f) D(g)имеем f(x) М, а g(x) М, тогда уравнение равносильно системе 62

Практические задания 63

Решение Пусть, тогда. Пусть, тогда и у 0 =3 – = 1, следовательно, у 1. Исходя из метода мажорант, составим и решим систему: Достаточно решить одно уравнение и подставить в другое найденные значения переменной. Из второго уравнения найдем. Проверим: Решение системы, следовательно, корень уравнения. Ответ: 1. Решите уравнение. Ознакомьтесь с решением уравнения. Составьте план решения задания Какие обобщения можно сделать с учащимися по окончании решения задания? 64

План решения: 1)Ввести функции. 2)Определить ограниченность (найти мажоранту) каждой функции. 3)В случае если мажоранты совпадают, составить и решить систему уравнений. 4)Сформулировать вывод о корнях уравнения и записать ответ. 65

Решение 1)Пусть, тогда и у 0 =3 + 2 – 1 = 4. Т.к. коэффициент при х отрицательный и у 0 =4, то у 4, а, следовательно, в силу возрастания функции имеем. 2) в силу известного неравенства. 3) Тогда исходное уравнение равносильно системе: Ответ: Решите уравнение. Ознакомьтесь с решением. Какие трудности могут испытывать учащиеся при выполнении задания? Как предупредить возможные трудности? Какие обобщения можно сделать с учащимися по окончании решения задания? 66

Решение 1)Исходное уравнение равносильно уравнению (*). 2) Оценим левую и правую части этого уравнения: (*). 3) Уравнение равносильно системе (*). Решив второе уравнение системы, получаем. Найденное значение x удовлетворяет первому уравнению системы. 4) Корень исходного уравнения: (*). Ответ:. 3. Решите уравнение Ознакомьтесь с решением. Объясните, на каком основании выполнены шаги решения, отмеченные символом (*). Какие трудности могут испытывать учащиеся при выполнении задания? Как предупредить возможные трудности? Как организовать самоконтроль и самооценку при решении уравнения? 67

Заполните оставшиеся два столбца в таблице, ответив на вопросы Что узнал? Чем овладел? Над чем предстоит работать? Нестандартные приемы решения уравнений и неравенств Самооценка имеющегося уровня владения приемом Что узнаю, чем овладею Что узнал, чем овладел Над чем предстоит работать низкий достаточный высокий 1Использование ограниченности функций 68

4. Использование неотрицательности функций 69

Вопросы: В каких задачных ситуациях при решении уравнений и неравенств целесообразно использовать неотрицательность функций? Какие трудности могут возникнуть у учащихся в таких ситуациях? Какие математические сведения необходимы учащимся для освоения способа решения уравнений и неравенств с использованием неотрицательности функций? 70

Как Вы думаете, каковы Ваши точки роста будут в ходе работы над темой «Применение неотрицательности функций при решении уравнений и неравенств»? Зафиксируйте планируемые точки роста, заполнив столбцы таблицы, выделенные курсивом: Нестандартные приемы решения уравнений и неравенств Самооценка имеющегося уровня владения приемом Что узнаю, чем овладею Что узнал, чем овладел Над чем предстоит работать низкий достаточный высокий 4Использование неотрицательности функций 71

Утверждение 1. Пусть левая часть уравнения (1) есть сумма нескольких функций, (2) каждая из которых неотрицательна для любого х из области ее определения. Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений (3) Например: ; 72

Утверждение 2. Пусть левая часть неравенства (4) есть сумма нескольких неотрицательных функций (2), каждая из которых неотицательна для любого х из области ее определения, тогда неравенство (4) равносильно системе уравнений (3). Например: ;. 73

где х k – решения системы 74

Тест по теме «Неотрицательность функций при решении уравнений и неравенств» 75

1)Решение неравенства … Ответ:. 76

2) Корнем уравнения является число … Ответ: 3. 77

3) Решением неравенства является промежуток… Ответ:. 78

4) Множество, являющееся решением неравенства… Ответ:. 79

5) Решение неравенства … Ответ: х – любое действительное число. 80

Решение 1)Запишем уравнение в виде: 2) Рассмотрим выражение. Пусть, тогда выражение примет вид ; его дискриминант отрицателен, поэтому при любых t, а значит и при любых х. Остальные слагаемые в правой части уравнения неотрицательны. 3) Сумма неотрицательных и положительного слагаемых не может быть равна нулю ни при каких х, поэтому исходное уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений. 1. Решите уравнение Ознакомьтесь с решением. Какие трудности могут испытывать учащиеся при выполнении задания? Как предупредить возможные трудности? Какие обобщения можно сделать с учащимися по окончании решения задания? 81

Решение Рассмотрим функции и. Т.к. и при любых х, то по утверждению 1 уравнение равносильно системе: Ответ: Решите уравнение Ознакомьтесь с решением уравнения. Составьте план решения задания. Какие обобщения можно сделать с учащимися по окончании решения задания? 82

План решения: 1)Ввести функции. 2)Определить, являются ли они неотрицательными (возможно на некотором множестве). 3)Исходя из условия задачи и неотрицательности функций, составить и решить систему уравнений. 4)Записать ответ. 83

Решение 1)Рассмотрим функции и. 2) при любых х (*). 3) Так как, то (*). 4) По утверждению 2 неравенство равносильно системе: Ответ: Решите неравенство Ознакомьтесь с решением. Объясните, на каком основании выполнены шаги решения, отмеченные символом (*). Какие трудности могут испытывать учащиеся при выполнении задания? Как предупредить возможные трудности? Как организовать самоконтроль и самооценку при решении неравенства? 84

Заполните оставшиеся два столбца в таблице, ответив на вопросы Что узнал? Чем овладел? Над чем предстоит работать? Нестандартные приемы решения уравнений и неравенств Самооценка имеющегося уровня владения приемом Что узнаю, чем овладею Что узнал, чем овладел Над чем предстоит работать низкий достаточный высокий 1Использование неотрицательности функций 85